【OFDM】OFDM正交頻分複用---入門總結
超讚OFDM入門
以下為學習總結部分：
章節一：時域上的OFDM
OFDM的”O”代表著”正交”，那麼就先說說正交吧。
首先說說最簡單的情況，sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分為0】，而正弦函式又是波的最直觀描述，因此我們就以此作為介入點。既然本文說的是圖示，那麼我們就用圖形的方式來先理解一下正交性。
在下面的圖示中，在[0,2π]的時長內，採用最易懂的幅度調製方式(AM)傳送訊號：
sin(t)傳送訊號a，因此傳送a·sin(t)；
sin(2t)傳送訊號b，因此傳送b·sin 其中：
- sin(t)和sin(2t)的用處是用來承載訊號，是收發端預先規定好的資訊，在本文中一律稱為子載波；
- 調製在子載波上的幅度訊號a和b，才是需要傳送的資訊。因此在通道中傳送的訊號為a·sin(t)+b·sin(2t)；
- 在接收端，分別對接收到的訊號作關於sin(t)和sin(2t)的積分檢測，就可以得到a和b了。（以下圖形採用google繪製）
圖一：傳送a訊號的sin(t)
圖二：傳送b訊號的sin(2t)【注意：在區間[0,2π]內傳送了兩個完整波形】
圖三：傳送在無線空間的疊加訊號a·sin(t)+b·sin(2t)
圖四：接收訊號乘sin(t)，積分解碼出a訊號。【如前文所述，傳送b訊號的sin(2t)項，在積分後為0】
圖五：接收訊號乘sin(2t)，積分解碼出b訊號。【如前文所述，傳送a訊號的sin(t)項，在積分後為0】
圖六：流程圖
數學中是如此定義正交的，數學證明了它們的正交性，那麼他們就是正交的，【他們就可以互不干擾的承載各自的資訊】。
上面的圖示雖然簡單，但是卻是所有複雜的基礎。
1.1下一步，將sin(t)和sin(2t)擴充套件到更多的子載波序列
{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，應該是很好理解的事情。
其中，2π是常量；Δf是事先選好的載頻間隔，也是常量。1t,2t,3t,…,kt保證了正弦波序列的正交性。
1.2再下一步，將cos(t)也引入。
容易證明，cos(t)與sin(t)是正交的，也與整個sin(kt)的正交族相正交。同樣，cos(kt)也與整個sin(kt)的正交族相正交。因此發射序列擴充套件到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),…,cos(2π·Δf·kt)}也就順理成章了。
1.3經過前兩步的擴充，選好了2組正交序列sin(kt)和cos(kt)，這只是傳輸的”介質”。
真正要傳輸的資訊還需要調製在這些載波上，即sin(t),sin(2t),…,sin(kt)分別幅度調製a1,a2,…,ak訊號,cos(t),cos(2t),…,cos(kt)分別幅度調製b1,b2,…,bk訊號。這2n組互相正交的訊號同時傳送出去，在空間上會疊加出怎樣的波形呢？做簡單的加法如下：
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) +
…
ak·sin(2π·Δf·kt) +
b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) +
…
bk·cos(2π·Δf·kt) +
= ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：實數的表達】
為了方便進行數學處理，上式有複數表達形式如下：
f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：複數的表達，這編輯器找不到上角標】
上面的公式可以這樣看：每個子載波序列都在傳送自己的訊號，互相交疊在空中，最終在接收端看到的訊號就是f(t)。接收端收到雜糅訊號f(t)後，再在每個子載波上分別作相乘後積分的操作，就可以取出每個子載波分別承載的訊號了。
然後，多看看公式1-1和公式1-2！！這就是傅立葉級數嘛。如果將t離散化，那麼就是離散傅立葉變換。所以才有OFDM以FFT來實現的故事。將在下面的章節進行更多的描述。
遵循古老的傳統，F表示頻域，f表示時域，所以可以從公式1-2中看出，每個子載波上面調製的幅度，就是頻域資訊。類似的說法是：OFDM傳輸的是頻域訊號。這種說法有些彆扭，但是很多教程或文章會使用這樣的說明方式，就看讀者如何理解了。如果純粹從公式或者子載波來看，這種說法其實也是很直接的闡述了。
上面1.1-1.3的擴充套件，可如下圖所示：
圖七：時域上的OFDM系統圖
1.4 還有這一步嗎？其實是有的。
“小白”你可以先想想，想不到的話先往下看，因為這需要在頻域中考量，所以我寫在後面了。【也可參考[1]】
將上述的時域分析配上LTE的實現，有如下情況：
【注1：本段描述需要有LTE物理層的基本知識，如果看不明白，請暫時跳過，看完整篇文章後再回看】
【注2：LTE並非時域的實現，下面僅僅是套用LTE的引數，做一個參考分析】子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM symbol的傳送時間是66.7us （OFDM符號週期:T=1/Δf），可以發現，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個OFDM symbol的傳送時間正好傳送一個一次諧波的完整波形。對於10M(總頻寬B)的LTE系統，採用的是1024個子載波，但是隻有中間600個(有效子載波個數Nc)（不含最中間的直流）子載波被用於傳送資料。在一個OFDM symbol的時間內（即66.67us)，靠近中間的兩個一次諧波傳輸一個完整波形，再靠外一點的兩個二次諧波傳輸兩個完整波形，以此類推至最外面的兩個300次諧波傳輸了300個完整的波形。在這66.67us內，600個子載波互相正交，其上分別承載了600個複數訊號。
上面的說法有點囉嗦，不如圖示來得直觀。本來準備再畫一圖的，不過一來上面已經有了類似的圖，實是大同小異；二來，600個子載波，也太多了點。。。
OK，說到這裡，從時域上面來看OFDM，其實是相當簡潔明快討人喜歡的。不過，一個系統若要從時域上來實現OFDM，難度太大，時延和頻偏都會嚴重破壞子載波的正交性，從而影響系統性能。這點在各種教材文章中都會有提及，我就不贅述了。
下面將轉入頻域來描述OFDM，由於頻域不甚直觀，的確會稍稍讓人費解。不過只要時刻想著時域子載波間的疊加，一切都會好起來。
章節二：頻域上的OFDM
第一章節時域上的討論開始於OFDM中的”O”；本章節頻域上我們從”FDM”開始。
先圖例一個常規FDM的系統圖：
圖11：常規FDM，兩路訊號頻譜之間有間隔，互相不干擾
為了更好的利用系統頻寬，子載波的間距可以儘量靠近些。
圖12：靠得很近的FDM，實際中考慮到硬體實現，解調第一路訊號時，已經很難完全去除第二路訊號的影響了（電路的實現畢竟不能像剪刀裁紙一樣利落），兩路訊號互相之間可能已經產生干擾了
還能再近些嗎？可以的。這就是OFDM的來歷啊，近到完全等同於奈奎斯特頻寬（後面有詳述），使頻帶的利用率達到了理論上的最大值。
圖13：繼續靠近，間隔頻率互相正交，因此頻譜雖然有重疊，但是仍然是沒有互相干擾的。神奇的OFDM
上面三個圖的確有點小兒科，不過我在這裡花時間畫了三張圖，總還是有所考量的：
a. 作為上一個章節和本章節之間的補充和連線，說明一下OFDM在頻域上面的表現，亦即OFDM的本源來歷。
b. 引導思考：訊號的頻寬是多少？
c. 引導思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢？結合1.4，先想想，再往下看，會更好。
再次回到正軌，請回看第一節中的圖一至圖六等時域波形圖，圖示了在時域上，波形的調製，疊加接收，以及最終的解碼。
讓我們看看圖一至圖三中的每個步驟在頻域上是如何表現的。
首先來看sin(t)。”小白”呀”小白”，你且說說sin(t)的頻譜是啥呀？”小白”弱弱的說：是一個衝激。是的，sin(t)是個單一的正弦波，代表著單一的頻率，所以其頻譜自然是一個衝激。不過其實圖一中所示的sin(t)並不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之內的一小段。無限長度的訊號被限制在一小截時間之內，【就好比從一個完整的人身上逮下一根頭髮，然後把整個人都丟掉，以發代人】其頻譜也不再是一個衝激了。
對限制在[0,2π]內的sin(t)訊號，相當於無限長的sin(t)訊號乘以一個[0,2π]上的門訊號（矩形脈衝），其頻譜為兩者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜為衝激，門訊號的頻譜為sinc訊號（即sin(x)/x訊號）。衝激訊號卷積sinc訊號，相當於對sinc訊號的搬移。所以分析到這裡，可以得出圖一的時域波形其對應的頻譜如下：
圖21：限定在[0,2π]內的a·sin(t)訊號的頻譜，即以sin(t)為載波的調製訊號的頻譜
sin(2t)的頻譜分析基本相同。需要注意的是，由於正交區間為[0,2π]，因此sin(2t)在相同的時間內傳送了兩個完整波形。相同的門函式保證了兩個函式的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：
圖22：限定在[0,2π]內的b·sin(2t)訊號的頻譜，即以sin(2t)為載波的調製訊號的頻譜
將sin(t)和sin(2t)所傳訊號的頻譜疊加在一起，如下：
圖23：a·sin(t)+b·sin(2t)訊號的頻譜
圖23和圖13，均是頻域上兩個正交子載波的頻譜圖。比一下，發現了嗎？不太一樣！
是的，想必你已經想起來了，這是因為基帶訊號在傳輸前，一般會通過脈衝成型濾波器的結果。比如使用"升餘弦滾降濾波器"後，圖23所示的訊號就會被修理成圖13所示的訊號了。這樣可以有效的限制頻寬外部的訊號，在保證本路訊號沒有碼間串擾的情況下，既能最大限度的利用頻寬，又能減少子載波間的各路訊號的相互干擾。這也是1.4中沒有提及的，更多的可參考[1]。
貼士：脈衝成型濾波器作用於頻域，可以”看作”時域中的每個碼元都是以類似sinc訊號發出的。沒必要糾結於傳送端碼元的時域波形，只需要知道在接收端通過合適的取樣就可以無失真的恢復訊號就OK咯。
奈奎斯特第一準則
這裡用到的是奈奎斯特第一準則，在下面的框框內會稍作描述：
奈奎斯特第一準則請自行google，這裡說說其推論：碼元速率為1/T(即每個碼元的傳輸時長為T)，進行無碼間串擾傳輸時，所需的最小頻寬稱為奈奎斯特頻寬。
對於理想低通訊道，奈奎斯特頻寬W = 1/(2T)
對於理想帶通訊道，奈奎斯特頻寬W = 1/T在下面的圖31中，可以看出訊號的實際頻寬B是要大於奈奎斯特頻寬W（低通的1/(2T)或者帶通的1/T）的，這就是理想和現實的距離。
補充說明：本文提到的”頻寬”，也即約定俗成的頻寬理解方式，指的是訊號頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過程中，因為將原訊號負頻率部分也移出來了（也可理解為同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的結果，見參考[2]）【注：沒有上角標和下角標的編輯器，真不爽。不過，你應該看得懂的】，所以頻寬翻倍了。如下圖所示：
圖31：內涵豐富的圖，請參看上面和下面的說明文字
上面專門用框框列出奈奎斯特第一準則，還有一個重要目的就是說明下頻帶利用率的問題。頻帶利用率是碼元速率1/T和頻寬B(或者W)的比值。
理想情況下，低通訊道頻帶利用率為2Baud/Hz；帶通訊道頻帶利用率同樣為2Baud/Hz（負頻率移出來後，和正頻率一樣可以獨立攜帶訊號）
實際情況下，因為實際頻寬B要大於奈奎斯特頻寬W，所以實際FDM系統的頻帶利用率會低於理想情況。
【說到這裡，終於可以圖窮匕見了】而OFDM的子載波間隔最低能達到奈奎斯特頻寬，也就是說（在不考慮最旁邊的兩個子載波情況下），OFDM達到了理想通道的頻帶利用率。
圖32：OFDM正交子載波，載頻間距為奈奎斯特頻寬，保證了最大的頻帶利用率
將上述的頻域分析配上LTE的實現，有如下情況：
【注：本段描述需要有LTE物理層的基本知識】
子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM symbol的傳送時間是66.7us （OFDM符號週期:T=1/Δf）。在10MHz(總頻寬B)通道上，1ms的子幀共傳輸14個OFDM symbol【不是15個，留空給CP了】，每一個OFDM symbol攜帶600個複數資訊(有效子載波個數Nc)，因此：
1. 從整個系統來看，波特率為600*14*2/1ms = 16.8MBaud，佔據頻寬10MHz，因此頻寬利用率為16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情況。【注：一是CP佔用了每個OFDM Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶並不是滿打滿算的用於傳輸資料，其邊界頻帶需要留空以減少與鄰近通道的干擾】
2. 單從OFDM一個symbol來看，波特率為600*2/66.7us = 18MBaud，佔據頻寬600*15kHz=9MHz (Nc*Δf=Bw有效頻寬)【不考慮邊界子載波帶外問題】，因此其頻寬利用率為18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。
附：5M頻寬的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即位元速率為3.84M*2 = 7.68MBaud，頻寬5M，所以頻寬利用率為7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略遜於LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈衝成型採用滾降係數為0.22的升餘弦濾波器，奈奎斯特頻寬為3.84M】
章節三：用IFFT實現OFDM
前兩章，第一節是從時域上來說子載波正交的原理；第二節是從頻域上來解釋子載波正交後，達到理想頻帶利用率的特性。
不過”小白”的卡殼，似乎並不在於最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各種時域頻域角色變換讓其眼花繚亂。
個人覺得要理解IFFT實現OFDM，最好的辦法還是看公式。比如第一章節中的公式1-1和公式1-2，配上時域波形圖的疊加。當然，這裡的IFFT需要將時域離散化，因此公式IFFT ≈ IDFT –>
fn = 1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n為時域離散後的序號，N為總的IFFT個數，n∈[1,N]】
關於公式3-1的理解方法，可以是這樣的。其中一種理解方式是聯絡第一章節的【公式1-2 f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 】：可以發現公式3-1等號右側所表達的物理意義和公式1-2是相同的，均代表了不同子載波e(j·2π·k·n/N)傳送各自的訊號Fk，然後在時域上的疊加形成fn，只不過現在疊加出來的時域不是連續波形，而是離散的時序抽樣點。
另一種更容易，更可愛的理解方式是：在一個OFDM symbol的時長T內，用N個子載波各自發送一個訊號F(k)（k∈[1,N]），等效於直接在時域上連續傳送fn（n∈[1,N]）N個訊號，每個訊號傳送T/N的時長。
在IFFT實現OFDM中，傳送端添加了IFFT模組、接收端添加了FFT模組。IFFT模組的功能相當於說：別麻煩傳送N個子載波訊號了，我直接算出你們在空中會疊加成啥樣子吧；FFT模組的功能相當於說：別用老式的積分方法來去除其餘的正交子載波了，我幫你一次把N個攜帶訊號全算出來吧。就是這樣，IFFT實現OFDM的系統用”數學的方法”，在傳送端計算訊號的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡化了系統的複雜度。
圖八：用IFFT實現OFDM。請自行對比圖七
補充章節：從頻譜上來看正交性
本文最開始發表時是沒有這一段的，因為原文已然十分自恰，已將OFDM的原理說的非常清楚到位了。然而，這一段的內容卻是別的文章中講解OFDM時經常出現的橋段，因此覺得還是有必要補充陳述一下自己的觀點。
【注：本小節為補充章節，與本文邏輯沒有必然聯絡，可直接略過。】
從正文章節中，可以發現作者的思路：從時域角度講解子載波的正交性；從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。作者覺得這是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、網路上，還有一種非常主流的講解方式：從頻域上“直觀的”看待子載波的正交性。比如下面這個圖：
圖51：從OFDM頻譜看待正交性（本圖來自網路）
這種觀點的說法是：在每個子載波的抽樣點上，其它的子載波訊號抽樣值均為0（即上圖中的subcarrier Nulls對應某個子載波的Subcarrier Peak）。這種說法在圖示上有非常醒目的直觀效果，所以是各教材講義中的常客，但是至少從作者的角度來看，這種說法在涉及到後面的解調訊號時，將變得非常難以理解和說明。所以本文最開始的版本中是沒打算寫本小節的。
如果你看到這裡，覺得這種說法正中下懷，那麼恭喜你。
如果你看到這裡，覺得這種說法已經讓你的腦袋成了漿糊，那麼可以回顧第一章節：時域上的正交性，然後繼續閱讀下面部分以解毒。
時域上的正交性和頻域上的正交性之間的關係該如何聯絡起來呢？回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分為0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在區間[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般寫為u(t)在[-T/2,T/2]區間上怎麼怎麼著，本文就用不著那麼學術了）。可以看出，這裡有一個關鍵的引數Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時域上的訊號傳輸時間。回顧時域頻域轉換圖：
圖51：從OFDM頻譜看待正交性（本圖來自網路，比我畫的圖好些，還有文字說明）
這種觀點的說法是：在每個子載波的抽樣點上，其它的子載波訊號抽樣值均為0（即上圖中的subcarrier Nulls對應某個子載波的Subcarrier Peak）。這種說法在圖示上有非常醒目的直觀效果，所以是各教材講義中的常客，但是至少從作者的角度來看，這種說法在涉及到後面的解調訊號時，將變得非常難以理解和說明。所以本文最開始的版本中是沒打算寫本小節的。
如果你看到這裡，覺得這種說法正中下懷，那麼恭喜你。
如果你看到這裡，覺得這種說法已經讓你的腦袋成了漿糊，那麼可以回顧第一章節：時域上的正交性，然後繼續閱讀下面部分以解毒。
時域上的正交性和頻域上的正交性之間的關係該如何聯絡起來呢？回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分為0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在區間[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般寫為u(t)在[-T/2,T/2]區間上怎麼怎麼著，本文就用不著那麼學術了）。可以看出，這裡有一個關鍵的引數Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時域上的訊號傳輸時間。回顧時域頻域轉換圖：
圖52：同前面的圖21，時域波形和頻域的轉換
聯絡上圖的時頻轉換，可以發現Δf既確定了子載波本身(即上圖中第一排的兩個圖)，又確定了待發訊號的傳輸時間(即上圖中第二排的兩個圖中訊號的寬度)，從而決定了訊號頻譜的主瓣寬度以及旁瓣為0的位置。這也意味著，OFDM系統中一旦選定了子載波間隔，時域上的正交性以及頻域上的正交性也就順理成章的聯絡起來了。如下圖：
圖53：同前面的圖23，兩路訊號的間隔Δf，保證了時域上的正交性、確定了頻域上的旁瓣0點位置
其實對本作者而言，從頻譜上來看待OFDM的正交性有點顛倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現“其餘子載波攜帶訊號的旁瓣0點處於當前子載波攜帶訊號主瓣峰值處”的現象是果。以果推因，謬矣。
參考[1]: Wireless Communications, Andrea Goldsmith - 12.2 Multicarrier Modulation with Overlapping Subchannels
參考[2]: Principles of Digital Communication - Gallager - 6.4.1 Double-sideband amplitude modulation
OFDM正交頻分複用利用了
和
之間的正交性。
OFDM的原理框圖如下：
圖中所示的n個子載波，注意：實際上每個子載波包含了正弦和餘弦兩個載波，承載了2個位元資料。
正是因為三角函式的正交性：
調製後的資料到了接收端才能被解調出來。
基本思想：
將傳送的高速率的資料流經串/並變換，分割為若干路低速率並行資料流，然後每路低速率資料採用一個獨立的子載波調製併疊加在一起構成傳送訊號，使各子載波的訊號速率大為降低，從而能夠提高抗多徑和抗衰落的能力。為了提高頻譜利用率，OFDM 方式中各子載波頻譜有重疊， 但保持相互正交， 在接收端通過相關解調技術分離出各子載波， 同時消除碼間干擾的影響。
