洛谷3953 NOIP2017 逛公園 最短路圖+拓撲排序+dp
題目連結
題意:
給你一個n個點m條邊的有向帶權圖,設1號點到n號點的最短路是dis,給你一個k(k<=50),求所有1到n的路徑中長度不超過dis+k的數量。
題解:
顯然我們要先處理出最短路,以後再也不會寫SPFA了,因為NOI2018卡了SPFA,並且很多人也說SPFA的複雜度確實是錯的,於是就只好迪傑了。處理出最短路之後,如果k=0,就是最短路計數了。要做計數,我們不難想到要在圖上dp。我們發現只要有一個邊權全部是0的環,那麼我們的滿足題意的路徑就會有無數條,因為可以在環裡轉任意多圈之後再出來。那麼我們要判斷是否有無窮多解就是去找有沒有全部是0的環。我們可以先處理出一個最短路圖,最短路圖的含義是由所有dis[x]+dis[x][y]=dis[y]的邊連成的圖,一個性質就是如果邊權都是正數,那麼最短路圖是一個DAG。DAG是可以拓撲排序的,如果最後每個點入度都是0,就不存在權值全是0的環,否則就是有權值全是0的環,因為權值是0的邊一定不會讓兩點之間的最短路邊長,就一定會在最短路樹上,而形成環的話是沒法有其中某一個點的入度是0,因此判斷拓撲排序後的入度即可。對圖拓撲排序後根據圖的拓撲序在DAG上dp也是一個經典套路,這裡我們就會採用這個套路。因為k很小,所以很可能會出現在我們的dp狀態中,當前點肯定與dp值有關,於是我們設
那麼我們的做法是列舉j,然後按照拓撲序列舉x,再列舉從x出發的所有邊,進行dp。注意外層是列舉j,因為在dp的過程中如果外層列舉x的話DAG上是沒有環的,但是這裡的邊是列舉原圖的邊,所以可能之後會有環再回到x,得到答案就是錯誤的了。還有就是這個dp看似列舉的層數很多,但是其實複雜度並不高,因為所有邊都只會被列舉到一次,所有點都只會被列舉k+1(0到k)次,所以總的複雜度是
程式碼:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m,k,p,hed[100010],cnt,dis[100010],vis[100010];
struct node
{
int from,to,dis,next;
}a[200010],e[200010];
int dp[1000010][51],hed2[100010],cnt2,ru[100010],xu[100010],shu;
priority_queue<pair<int ,int> > q;
int que[100010],h,t,pd;
long long ans;
void add(int from,int to,int dis)
{
a[++cnt].to=to;
a[cnt].from=from;
a[cnt].dis=dis;
a[cnt].next=hed[from];
hed[from]=cnt;
}
void add2(int from,int to,int dis)
{
e[++cnt2].to=to;
e[cnt2].dis=dis;
e[cnt2].next=hed2[from];
hed2[from]=cnt2;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&p);
memset(hed,0,sizeof(hed));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=cnt;++i)
{
a[i].to=0;
a[i].dis=0;
a[i].next=0;
}
cnt=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
dis[1]=0;
q.push(make_pair(0,1));
while(!q.empty())
{
int x=q.top().second;
q.pop();
if(vis[x])
continue;
vis[x]=1;
for(int i=hed[x];i;i=a[i].next)
{
int y=a[i].to;
if(dis[y]>dis[x]+a[i].dis)
{
dis[y]=dis[x]+a[i].dis;
q.push(make_pair(-dis[y],y));
}
}
}
memset(hed2,0,sizeof(hed2));
memset(ru,0,sizeof(ru));
for(int i=1;i<=cnt2;++i)
{
e[i].to=0;
e[i].dis=0;
e[i].next=0;
}
for(int i=1;i<=cnt;++i)
{
if(dis[a[i].from]+a[i].dis==dis[a[i].to])
{
add2(a[i].from,a[i].to,a[i].dis);
++ru[a[i].to];
}
}
h=1;
t=0;
shu=0;
memset(xu,0,sizeof(xu));
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(!ru[i])
que[++t]=i;
}
while(h<=t)
{
int x=que[h];
xu[++shu]=x;
for(int i=hed2[x];i;i=e[i].next)
{
int y=e[i].to;
--ru[y];
if(!ru[y])
que[++t]=y;
}
++h;
}
pd=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(ru[i])
{
pd=1;
break;
}
}
if(pd==1)
{
printf("-1\n");
continue;
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[1][0]=1;
for(int j=0;j<=k;++j)
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int x=xu[i];
for(int l=hed[x];l;l=a[l].next)
{
int y=a[l].to;
if(j+a[l].dis-(dis[y]-dis[x])<=k)
dp[y][j+a[l].dis-(dis[y]-dis[x])]=(dp[y][j+a[l].dis-(dis[y]-dis[x])]+dp[x][j])%p;
}
}
}
ans=0;
for(int i=0;i<=k;++i)
ans=(ans+dp[n][i])%p;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
PS:時隔大半年,再做NOIP題目,真是一點長進都沒有啊。這是我NOIP唯一當場爆零了的題,但是現在聽了別人講之後還是交了好幾次才過掉,雖然錯的都是小地方,但是還是看出我似乎進步並不是那麼大啊。