問題描述

迴文序列(Palindromic sequence, Palindrome)是指正向遍歷和反向遍歷完全相同的序列，例如字串“AAAAA”顯然是一個迴文序列，又如字串“[email protected]”也是一個迴文序列。現在，我們要在一個（字元）序列中找出最長迴文子序列的長度。例如字元序列"BBABCBCAB"，最長迴文子序列是“BACBCAB”（可能不唯一），它的長度是7；子序列"BBBBB"和"BBABB"雖然也是迴文序列，但卻不是最長的，因此不合題意。

分析

對任意字串，如果頭和尾相同，那麼它的最長迴文子序列一定是去頭去尾之後的部分的最長迴文子序列加上頭和尾。如果頭和尾不同，那麼它的最長迴文子序列是去頭的部分的最長迴文子序列和去尾的部分的最長迴文子序列的較長的那一個。 設字串為s，f(i,j)表示s[i..j]的最長迴文子序列。  狀態轉移方程如下：  當i>j時，f(i,j)=0。  當i=j時，f(i,j)=1。  當i<j並且s[i]=s[j]時，f(i,j)=f(i+1,j-1)+2。  當i<j並且s[i]≠s[j]時，f(i,j)=max( f(i,j-1), f(i+1,j) )。  由於f(i,j)依賴i+1，所以迴圈計算的時候，第一維必須倒過來計算，從s.length()-1到0。  最後，s的最長迴文子序列長度為f(0, s.length()-1)。
以"BBABCBCAB"為例：
（注：本程式的填表方向斜向左上，即從最後一行的最後開始到第一行最後一位）

程式碼

（時間複雜度O（n^2）），空間複雜度O（n^2））

#include <iostream>  
#include <cstring>  
using namespace std;  

#define MAX 100  
#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)  

int f[MAX][MAX]={0};  

void LPS_Length(char *s,int len)
{
	for (int i=len-1;i>=0;i--)  
	{  
		//	當i=j時，f(i,j)==1
		f[i][i]=1;  
		for (int j=i+1;j<len;j++)
		{
			//	當i<j並且s[i]=s[j]時，f(i,j)=f(i+1,j-1)+2
			if (s[i]==s[j])			
				f[i][j]=f[i+1][j-1]+2;
			else		
				//	當i<j並且s[i]≠s[j]時，f(i,j)=max( f(i,j-1), f(i+1,j) )
				f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+1][j]);  
		}
	}  
	
}
int main()  
{  
		char *str="abcffggcbda";//字串長度不能超過100
		int len=strlen(str);
		LPS_Length(str,len);
		cout<<f[0][len-1]<<endl; //輸出迴文長序列度

	return 0;  
}
 

為進一步減小空間複雜度，我們發現計算第i行時只用到了第i+1行，這樣我們便不需要n行，只需要2行即可。
起初先在第0行計算f[s.length()-1]，然後用第0行的結果計算f[s.length()-2]，再用第1行的結果計算f[s.length()-3]，以此類推。正在計算的那行設為flag，那麼下一行就是1-flag。這種方法很巧妙。 當計算完成時，如果s.length()是奇數，則結果在第0行；如果是偶數，則結果在第1行。  此空間複雜度為O(n)。

#include <iostream>  
#include <cstring>  
using namespace std;  

#define MAX 100  
#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)  

int f[2][MAX]={0};  

void LPS_Length(char *s,int len)
{
	int flag=0;
	for (int i=len-1;i>=0;i--)  
	{  
		//	當i=j時，f(i,j)==1
		f[flag][i]=1;  
		for (int j=i+1;j<len;j++)//一個for迴圈是一行，從i到len
		{
			//	當i<j並且s[i]=s[j]時，f(i,j)=f(i+1,j-1)+2
			if (s[i]==s[j])			
				f[flag][j]=f[1-flag][j-1]+2;
			else		
				//	當i<j並且s[i]≠s[j]時，f(i,j)=max( f(i,j-1), f(i+1,j) )
				f[flag][j]=max(f[flag][j-1],f[1-flag][j]);  	
		}
		flag=1-flag;
	}  
	
}
int main()  
{  
		char *str="abcffgtmgcbda";//字串長度不能超過100
		int len=strlen(str);
		LPS_Length(str,len);
		if(len%2 == 0)
			cout<<f[1][len-1]<<endl; //輸出迴文長序列度
		else
			cout<<f[0][len-1]<<endl;

	return 0;  
}
 

注：此題是求最長迴文子序列，還有類似的題，求最長迴文子串，解法類似：http://blog.csdn.net/u012243115/article/details/41854563。