經典演算法——最長迴文子序列
最長迴文子序列LPS(Longest Palindromic Subsequence)問題
一個字串有許多子序列,比如字串cabbeaf,它的子序列有c、abb、e、a、f,可以通過刪除某些字元而變成迴文字串,字串“cabbeaf”,刪掉‘c’、'e'、‘f’後剩下的子串“abba”就是迴文字串,也是其中最長的迴文子序列。注意和最長迴文子串點選開啟連結的區別,最長迴文子串必須是連續的,這裡的最長迴文子序列,可以是不連續的,這就是最長迴文子序列LPS問題。
方法一:遞迴方法
str[0...n-1]是給定的字串序列,長度為n,假設lps(0,n-1)表示序列str[0...n-1]的最長迴文子序列的長度。
1.如果str的最後一個元素和第一個元素是相同的,則有:lps(0,n-1)=lps(1,n-2)+2;例如字串序列“AABACACBA”,第一個元素和最後一個元素相同,其中lps(1,n-2)表示紅色部分的最長迴文子序列的長度;
2.如果str的最後一個元素和第一個元素是不相同的,則有:lps(0,n-1)=max(lps(1,n-1),lps(0,n-2));例如字串序列“ABACACB”,其中lps(1,n-1)表示去掉第一元素的子序列,lps(0,n-2)表示去掉最後一個元素的子序列。
#include<iostream> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; //遞迴方法,求解最長迴文子序列 int lps(char *str, int i, int j) { if (i == j) return 1; //只有一個元素,迴文長度為1 if (i > j) return 0; //因為只計算序列str[i....j] //如果首尾相同 if (str[i] == str[j]) return lps(str, i + 1, j - 1) + 2; //如果首尾不同 return max(lps(str, i, j - 1), lps(str, i + 1, j)); } int main() { char str[] = "cabbeaf"; int n = strlen(str); int res = lps(str, 0, n - 1); cout << res<< endl; getchar(); return 0; }
重疊子問題
但是通過上面遞迴的方法,會出現很多重複的計算,比如上面的L(1,4),所以可以採用動態規劃的方法求解
方法二:動態規劃方法
通過自下而上的方式記錄子問題的最優解
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; //動態規劃求解最長迴文子序列,時間複雜度為O(n^2) int lpsDp(char *str, int n) { int dp[10][10], tmp; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i][i] = 1; for (int i = 1; i < n; ++i) { tmp = 0; //考慮所有連續的長度為i+1的子串,str[j....j+i] for (int j = 0; j + i < n; j++) { //如果首尾相同 if (str[j] == str[j + i]) tmp = dp[j + 1][j + i - 1] + 2; //如果首尾不同 else tmp = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]); dp[j][j + i] = tmp; } } return dp[0][n - 1]; //返回字串str[0...n-1]的最長迴文子序列長度 } int main() { char str[10] = "cabbeaf"; int res = lpsDp(str, strlen(str)); cout << res << endl; getchar(); return 0; }
參考:http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-12-longest-palindromic-subsequence/
附:騰訊2016實習筆試程式設計題
所謂迴文字串,就是一個字串,從左到右讀和從右到左讀是完全一樣的,比如“aba”、“c”,對於一個字串,可以通過刪除某些字元而變成迴文字串,如“cabebaf”,刪除'c'、'e'、‘f’後剩下子串“abba”就是迴文字串。
要求,給定任意一個字串,字串最大長度1000,計算出最長的迴文字串長度。
如“cabebaf”的迴文串包括“c”、“aba”、“abba”等,最長迴文“abba”長度為4。
輸入:字串
輸出:最大的迴文字元長度。
示例:
輸入:cabbeaf
輸出:4
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1000
//動態規劃求解最長迴文子序列,時間複雜度為O(n^2)
int lpsDp(char *str, int n)
{
int dp[MAXN>>1][MAXN>>1], tmp;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
//字串長度為1,最長迴文子序列的長度就是1
for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i][i] = 1;
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
tmp = 0;
//考慮所有連續的長度為i+1的子串,str[j....j+i]
for (int j = 0; j + i < n; j++)
{
//如果首尾相同
if (str[j] == str[j + i])
tmp = dp[j + 1][j + i - 1] + 2;
//如果首尾不同
else
tmp = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]);
dp[j][j + i] = tmp;
}
}
return dp[0][n - 1]; //返回字串str[0...n-1]的最長迴文子序列長度
}
int main()
{
char str[MAXN];
while (cin >> str)
{
int res = lpsDp(str, strlen(str));
cout << res << endl;
}
getchar();
return 0;
}