前言:

做過leetcode的人都知道, 裡面有2sum, 3sum(closest), 4sum等問題, 這些也是面試裡面經典的問題, 考察是否能夠合理利用排序這個性質, 一步一步得到高效的演算法. 經過總結, 本人覺得這些問題都可以使用一個通用的K sum求和問題加以概括消化, 這裡我們先直接給出K Sum的問題描述和演算法(遞迴解法), 然後將這個一般性的方法套用到具體的K, 比如leetcode中的2Sum, 3Sum, 4Sum問題. 同時我們也給出另一種雜湊演算法的討論.

leetcode求和問題描述(K sum problem)：

K sum的求和問題一般是這樣子描述的：給你一組N個數字(比如 vector<int> num), 然後給你一個常數(比如 int target) ，我們的goal是在這一堆數裡面找到K個數字，使得這K個數字的和等於target。

注意事項(constraints):

注意這一組數字可能有重複項：比如 1 1 2 3 , 求3sum, 然後 target  = 6, 你搜的時候可能會得到 兩組1 2 3, 1 2 3，1 來自第一個1或者第二個1, 但是結果其實只有一組，所以最後結果要去重。

K Sum求解方法, 適用leetcode 2Sum, 3Sum, 4Sum：

方法一： 暴力，就是列舉所有的K-subset, 那麼這樣的複雜度就是 從N選出K個，複雜度是O(N^K)

方法二： 排序，這個演算法可以考慮最簡單的case, 2sum，這是個經典問題，方法就是先排序，然後利用頭尾指標找到兩個數使得他們的和等於target, 這個2sum演算法網上一搜就有，這裡不贅述了，給出2sum的核心程式碼：

//2 sum
int i = starting; //頭指標
int j = num.size() - 1; //尾指標
while(i < j) {
    int sum = num[i] + num[j];
    if(sum == target) {
        store num[i] and num[j] somewhere;
        if(we need only one such pair of numbers)
            break;
        otherwise
            do ++i, --j;
    }
    else if(sum < target)
        ++i;
    else
        --j;
}
 

2sum的演算法複雜度是O(N log N) 因為排序用了N log N以及頭尾指標的搜尋是線性的，所以總體是O(N log N)，好了現在考慮3sum, 有了2sum其實3sum就不難了，這樣想：先取出一個數，那麼我只要在剩下的數字裡面找到兩個數字使得他們的和等於(target – 那個取出的數)就可以了吧。所以3sum就退化成了2sum, 取出一個數字，這樣的數字有N個，所以3sum的演算法複雜度就是O(N^2 ), 注意這裡複雜度是N平方，因為你排序只需要排一次，後面的工作都是取出一個數字，然後找剩下的兩個數字，找兩個數字是2sum用頭尾指標線性掃，這裡很容易錯誤的將複雜度算成O(N^2 log N)，這個是不對的。我們繼續的話4sum也就可以退化成3sum問題，那麼以此類推，K-sum一步一步退化，最後也就是解決一個2sum的問題，K sum的複雜度是O(n^(K-1))。 這個界好像是最好的界了，也就是K-sum問題最好也就能做到O(n^(K-1))複雜度，之前有看到過有人說可以嚴格數學證明，這裡就不深入研究了。

K Sum (2Sum, 3Sum, 4Sum) 演算法優化(Optimization)：

這裡講兩點，第一，注意比如3sum的時候，先整體排一次序，然後列舉第三個數字的時候不需要重複， 比如排好序以後的數字是 a b c d e f, 那麼第一次列舉a, 在剩下的b c d e f中進行2 sum, 完了以後第二次列舉b, 只需要在 c d e f中進行2sum好了，而不是在a c d e f中進行2sum, 這個大家可以自己體會一下，想通了還是挺有幫助的。第二，K Sum可以寫一個遞迴程式很優雅的解決，具體大家可以自己試一試。寫遞迴的時候注意不要重複排序就行了。

Hash解法(Other)：

其實比如2sum還是有線性解法的，就是用hashmap, 這樣你check某個值存在不存在就是常數時間，那麼給定一個sum, 只要線性掃描, 對每一個number判斷sum – num存在不存在就可以了。注意這個演算法對有重複元素的序列也是適用的。比如 2 3 3 4 那麼hashtable可以使 hash(2) = 1; hash(3) = 1, hash(4) =1其他都是0,  那麼check的時候，掃到兩次3都是check sum – 3在不在hashtable中，注意最後返回所有符合的pair的時候也還是要去重。這樣子推廣的話 3sum 其實也有O(N^2)的類似hash演算法，這點和之前是沒有提高的，但是4sum就會有更快的一個演算法。

4sum的hash演算法：

O(N^2)把所有pair存入hash表，並且每個hash值下面可以跟一個list做成map， map[hashvalue] = list，每個list中的元素就是一個pair, 這個pair的和就是這個hash值，那麼接下來求4sum就變成了在所有的pair value中求 2sum，這個就成了線性演算法了，注意這裡的線性又是針對pair數量(N^2)的線性，所以整體上這個演算法是O(N^2)，而且因為我們掛了list, 所以只要符合4sum的我們都可以找到對應的是哪四個數字。
關於hash的解法我研究還不是很多，以後要是有更深入的研究再更新。

結束語：

這篇文章主要想從一般的K sum問題的角度總結那些比較經典的求和問題比如leetcode裡面的2sum, 3sum(closest), 4sum等問題,  文章先直接給出K Sum的問題描述和演算法(遞迴解法), 然後將這個一般性的方法套用到具體的K, 比如leetcode中的2Sum, 3Sum, 4Sum問題. 同時我們也給出另一種雜湊演算法的討論. 那麼這篇文章基本上還是自己想到什麼寫什麼，有疏忽不對的地方請大家指正，也歡迎留言討論，如果需要原始碼，請留言或者發郵件到[email protected]