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【影象處理】平行線投影radon變換

  從一個角度,用光源照射物件物體,螢幕上會形成物件物體的影子;如果物體是半透明的,那麼影子便有灰度而不是純黑的,這說明螢幕上的像可以反映物體內部對可見光的衰減作用。我們從落於[0~π]的一系列連續角度照射物體,形成一系列的像,這些像包含物體結構特徵資訊,基本上可以通過這些像還原物體的形狀特徵,如果物體是半透明的,那麼物體內部的結構也可以還原出來。物體原始形狀變換生成這些投影像,稱為radon變換;從這些像還原物體形態,稱為逆radon變換。人體對可見光是不透明的,但對X光是半透明的,因此CT可以發射X光照射人體,生成人體內部結構的影象資訊。
  radon變換的公式是:

xcosθ+ysinθ
=ρ
g(ρ,θ)=f(x,y)δ(xcosθ+ysinθρ)dxdy

本質上就是沿著xcosθ+ysinθ=ρ確定的多條平行射線,建立法線方向為θ的線段上的投影。一個比較簡單的實現是,讓影象均勻旋轉θ角度,然後計算x軸上的投影。假設角度區間[0~π]被分割為n份,投影線段長m,則最終我們獲取m×n大小的二維矩陣,稱為投影矩陣。

  radon反變換的公式是:

f(x,y)=π0g(xcosθ+ysinθ,θ)dθ該反變換操作比較簡單,但是計算量大,且輸出影象模糊有光暈。

  為了得到清晰的影象,我們需要進行頻域濾波。首先我們知道二維傅立葉變換對為:

F(u,v)=
f(x,y)ej2π(ux+vy)dxdy
f(x,y)=F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv

這裡引入傅立葉切片定理,其中ω是頻率分量:G(ω,θ)=g(ρ,θ)ej2πωρdρ=f(x,y)δ(xcosθ+ysinθρ)ej2πωρdxdydρ=f(x,y)[δ(xcosθ+ysinθρ)ej2πωρdρ]dxdy=f(x,y)ej2πω(xcosθ+ysinθ)dxdy=F(ωcosθ,ωsinθ)

這說明一個投影的一維傅立葉變換,是二維投影矩陣的二維傅立葉變換的一個切片。上述最後一步執行換元操作。
頻域逆變換為:

f(x,y)=F(ωcosθ,ωsinθ)dωcosθdωsinθdωcosθdωsinθ=ωdωdθf

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