生成樹計數-Matrix-Tree定理
阿新 • • 發佈:2019-02-06
/* *演算法引入: *給定一個無向圖G,求它生成樹的個數t(G); * *演算法思想: *(1)G的度數矩陣D[G]是一個n*n的矩陣,並且滿足:當i≠j時,dij=0;當i=j時,dij等於vi的度數; *(2)G的鄰接矩陣A[G]是一個n*n的矩陣,並且滿足:如果vi,vj之間有邊直接相連,則aij=1,否則為0; *定義圖G的Kirchhoff矩陣C[G]為C[G]=D[G]-A[G]; *Matrix-Tree定理:G的所有不同的生成樹的個數等於其Kirchhoff矩陣C[G]任何一個n-1階主子式的行列式的絕對值; *所謂n-1階主子式,就是對於r(1≤r≤n),將C[G]的第r行,第r列同時去掉後得到的新矩陣,用Cr[G]表示; * *Kirchhoff矩陣的特殊性質: *(1)對於任何一個圖G,它的Kirchhoff矩陣C的行列式總是0,這是因為C每行每列所有元素的和均為0; *(2)如果G是不連通的,則它的Kirchhoff矩陣C的任一個主子式的行列式均為0; *(3)如果G是一顆樹,那麼它的Kirchhoff矩陣C的任一個n-1階主子式的行列式均為1; * *演算法舉例: *SPOJ104(Highways) * *題目地址: *http://www.spoj.com/problems/HIGH/ * *題目大意: *一個有n座城市的組成國家,城市1至n編號,其中一些城市之間可以修建高速公路; *需要有選擇的修建一些高速公路,從而組成一個交通網路; *計算有多少種方案,使得任意兩座城市之間恰好只有一條路徑; **/ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; const int N=15; typedef long long LL; int degree[N]; LL C[N][N]; LL det(LL a[][N],int n)//生成樹計數:Matrix-Tree定理 { LL ret=1; for(int i=1; i<n; i++) { for(int j=i+1; j<n; j++) while(a[j][i]) { LL t=a[i][i]/a[j][i]; for(int k=i; k<n; k++) a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t); for(int k=i; k<n; k++) swap(a[i][k],a[j][k]); ret=-ret; } if(a[i][i]==0) return 0; ret=ret*a[i][i]; } if(ret<0) ret=-ret; return ret; } int main() { //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin); int tcase; scanf("%d",&tcase); while(tcase--) { memset(degree,0,sizeof(degree)); memset(C,0,sizeof(C)); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); int u,v; while(m--) { scanf("%d%d",&u,&v); u--; v--; C[u][v]=C[v][u]=-1; degree[u]++; degree[v]++; } for(int i=0; i<n; ++i) C[i][i]=degree[i]; printf("%lld\n",det(C,n)); } return 0; }