石子歸併（區間dp & 四邊形不等式優化）
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N堆石子擺成一條線。現要將石子有次序地合併成一堆。規定每次只能選相鄰的2堆石子合併成新的一堆，並將新的一堆石子數記為該次合併的代價。計算將N堆石子合併成一堆的最小代價。
例如： 1 2 3 4，有不少合併方法
1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)
1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)
1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)
括號裡面為總代價可以看出，第一種方法的代價最低，現在給出n堆石子的數量，計算最小合併代價。
Input
第1行：N（2 <= N <= 100) 第2 - N + 1：N堆石子的數量（1 <= A[i] <= 10000)
輸出最小合併代價Input示例
4 1 2 3 4Output示例
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好經典的一個區間dp的題啊！不過這次在紙上畫了畫，自己都想的差不多了，但是自己只寫了個O（n^3）的演算法，後來看了看，發現還有一個用四邊形不等式優化的方法，也學習了學習，時間優化到了O（n^2）。
好了不廢話了，第一次寫一個型別題的時候，都會仔細的寫一篇講解的：
要求是把n堆石子合併成一堆，但是隻能合併相鄰的，所以不能用貪心的方法了。
然後我們考慮簡化問題的方法，即：把n-1堆石子合併成一堆求最少耗費，然後再和剩下的一堆合併。
然後再次簡化：把n-2堆石子合併成一堆，再和剩下的2堆合併。
……
……
……
最後問題就成了，把2堆石子合併。
然後我們再開始正序往後想，兩堆石子的合併想必都會，就是從1 ~ n-1 依次列舉。
那麼三堆呢？
比如 1 2 3 三堆，我們可以分開，考慮：dp[1][3] = min(dp[1][2] + dp[3][3] , dp[1][1] + dp[2][3]) + sum[1,3]
那麼四堆呢？
我們再分割槽間 [1,1]+[2,3] 和 [1,2] + [3,4] 和 [1,3] + [4,4] 最小值加上一個sum[1,4]就是移動這四堆所需要的最小耗費。
現在再看是不是清晰了點，那麼我我們先看n^3的方法：
三個for：
①列舉長度l：2 ~ n
②列舉起始端點：1 ~ n - l + 1
③列舉斷點位置（就是上面的把區間拆開的點的位置）：i ~ endd（endd為末端點，等於i + l - 1）
程式碼如下：（O（n^3））（下面還有優化的演算法）
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int main()
{
int n;
int t;
int dp[111][111];
int sum[111];
sum[0] = 0;
scanf ("%d",&n);
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
scanf ("%d",&t) , sum[i] = sum[i-1] + t;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
dp[i][i] = 0;
for (int l = 2 ; l <= n ; l++) //選取區間長度
{
for (int i = 1 ; i <= n-l+1 ; i++)
{
int endd = i + l - 1; //區間末端點
dp[i][endd] = INF;
for (int k = i+1 ; k <= endd ; k++)
dp[i][endd] = min(dp[i][endd] , dp[i][k-1] + dp[k][endd] + sum[endd] - sum[i-1]);
}
}
printf ("%d\n",dp[1][n]);
return 0;
}知道了基本的，然後我們來談優化，優化其實很好想，每次我們找斷點k的時候，都是從i ~ endd一個個列舉。我們是否可以用一個方法快速找到呢？答案是可以的，這裡有一個四邊形不等式：點選開啟連結
也就是說，我們用一個數組s[][]記錄從 i 到 j 斷點的位置，那麼下一輪，我們就找這兩個斷點中間的點：
s[i][j-1] <= k <= s[i+1][j] （注意，這兩個s的數值在算 l - 1 的時候已經算出來了）
這個時候這個k就基本確定在那一兩個數中了。時間複雜度成功優化，當然多開了一個s陣列佔用了空間複雜度，但是是沒辦法的事，本來就是矛盾嘛。
程式碼如下：
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int main()
{
int n;
int t;
int dp[111][111];
int s[111][111];
int sum[111];
sum[0] = 0;
scanf ("%d",&n);
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
scanf ("%d",&t);
sum[i] = sum[i-1] + t;
s[i][i] = i;
}
CLR(dp,0);
for (int l = 2 ; l <= n ; l++) //選取區間長度
{
for (int i = 1 ; i <= n-l+1 ; i++)
{
int endd = i + l - 1; //區間末端點
dp[i][endd] = INF;
for (int k = s[i][endd-1] ; k <= s[i+1][endd] ; k++) //利用四邊形不等式優化範圍
{
if (dp[i][endd] > dp[i][k] + dp[k+1][endd] + sum[endd] - sum[i-1]) //就算這裡k+1超了也不怕
{
dp[i][endd] = dp[i][k] + dp[k+1][endd] + sum[endd] - sum[i-1];
s[i][endd] = k;
}
}
}
}
printf ("%d\n",dp[1][n]);
return 0;
}