演算法提高 合併石子   時間限制：2.0s   記憶體限制：256.0MB 問題描述 　　在一條直線上有n堆石子，每堆有一定的數量，每次可以將兩堆相鄰的石子合併，合併後放在兩堆的中間位置，合併的費用為兩堆石子的總數。求把所有石子合併成一堆的最小花費。 輸入格式 　　輸入第一行包含一個整數n，表示石子的堆數。
　　接下來一行，包含n個整數，按順序給出每堆石子的大小 。 輸出格式 　　輸出一個整數，表示合併的最小花費。 樣例輸入 5
1 2 3 4 5 樣例輸出 33 資料規模和約定 　　1<=n<=1000, 每堆石子至少1顆，最多10000顆。  

思路：和藍橋杯另一個題目 矩陣乘法 同一個型別，考慮用DP求解，dp[i][j]表示把第i堆到第j堆合到一起的最小花費，則有狀態轉移方程：

其中sum[i][j]代表第i堆到第j堆的總石子數，可以用一個字首和陣列代替。

本以為這題就這麼過了，但沒想到第一發只過了7個點，剩下三個超時，然後無論我怎麼想辦法優化，都是卡在最後一個點上，最後我把狀態轉移過程中的min庫函式換掉，再把對陣列的訪問和修改換成對整數修改，最後再賦值給dp陣列，終於1900+ms擦線過了。。但我感覺這題應該有更好的方法，百度一下果然不出所料，也因此學到新知識----四邊形不等式優化DP

關於四邊形不等式優化DP的方法及證明請戳這裡。

下面是壓線過的程式碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
#define ll long long
#define pi acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int MAXN=100010;
int dp[1001][1001]; 
int a[1010],s[1010][1010];
int main()
{
	//memset(dp,inf,sizeof(dp));//用memset這題也能勉強過，但是如果用下面註釋掉的那三行進行狀態轉移就會卡在最後一個點上。
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",a+i),dp[i][i]=0,a[i]+=a[i-1];
	for(int len=2;len<=n;len++)
	{
		for(int i=1,j=len;j<=n;i++,j++)
		{
			int temp=inf;
			dp[i][j]=inf;
			for(int k=i;k<=j;k++)
			{
				int t=dp[i][k]+dp[k+1][j];
				if(temp>t)
				temp=t;
//				int temp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1];//用這三行的話會卡在最後一個點，但其實這已經是優化過的版本了，
//				if(temp<dp[i][j])//如果寫最簡單的dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1])連倒數第二個點都過不了
//				dp[i][j]=temp;
			}
			dp[i][j]=temp+a[j]-a[i-1];
		}
	}
	printf("%d",dp[1][n]);
    return 0;
}
 

然後是四邊形不等式優化，直接將時間降到了31ms。。

程式碼：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
#define ll long long
#define pi acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int MAXN=100010;
int dp[1001][1001]; 
int a[1010],s[1010][1010];
int main()
{
	memset(dp,inf,sizeof(dp));
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",a+i),dp[i][i]=0,a[i]+=a[i-1],s[i][i]=i;
	for(int len=2;len<=n;len++)
	{
		for(int i=1,j=len;j<=n;i++,j++)
		{
			for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
			{
				int temp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1];
				if(temp<dp[i][j])
				{
					dp[i][j]=temp;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[1][n]);
    return 0;
}
 

最後，關於合併石子問題還有一種專門的演算法-----GarsiaWachs演算法，樸素實現的複雜度為O（n^2），若加上平衡樹優化為O（nlogn），但是蒟蒻並不會平衡樹，而且網上並沒有很多關於這個演算法的證明，大多數講這個演算法的都是講如何樸素的實現，但就算是樸素的實現我看起來也很費勁。。而且這個演算法貌似並沒有其他方面的應用，就先不深入研究了吧。