增加 pre 分享 ems 滿足 log 如果 算法 技術

題目鏈接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1022

題目大意：

N堆石子擺成一個環。現要將石子有次序地合並成一堆。規定每次只能選相鄰的2堆石子合並成新的一堆，並將新的一堆石子數記為該次合並的代價。計算將N堆石子合並成一堆的最小代價。

例如： 1 2 3 4，有不少合並方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19) 1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24) 1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20) 括號裏面為總代價可以看出，第一種方法的代價最低，現在給出n堆石子的數量，計算最小合並代價。

解題思路：

經典的石子合並問題，較原來不同的是石子是環形擺放的，而且石子數目n的範圍有100增加到了1000，原本O（n^3）的算法肯定是會超時的。所以需要用四邊形不等式優化將復雜度降為O（n^2），並且將數組倍增把環變為鏈。

粗略介紹一下四邊形優化的作用，具體證明看這裏《動態規劃加速原理之四邊形不等式》。 我們原本的狀態轉移方程為dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]}（i<j，i<=k<=j）。 上式在動態規劃的狀態轉移方程中是很常見的，對於上式中的w(i,j)
如果符合w(i`,j) <= w(i,j`) i<i`<j<j` 那麽我們稱函數w滿足關於區間包含的單調性。
如果符合w(i,j)+w(i`,j`) <= w(i`,j)+w(i,j`) 那麽我們稱函數w滿足四邊形不等式。 那麽就可以使用兩個定理（圖片來源）

於是，我們可以使用s[i][j]記錄使得dp[i][j]最優的分割點（k點），並且滿足s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j+1]，那麽我們的k的枚舉範圍就是s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j+1]。

復雜度證明:

代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4
 
 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int N=2e3+5;
 7 const int INF=0x3f3f3f3f;
 8 
 9 int dp[N][N],s[N][N],sum[N],a[N];//s[i][j]為使dp[i][j]最優的分割點 
10 
11 int main(){
12     int n;
13     scanf("%d",&n);
14     memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
15     for(int i=1;i<=n;i++){
16         scanf("%d",&a[i]);
17         a[i+n]=a[i];
18     }
19     for(int i=1;i<=2*n;i++){
20         dp[i][i]=0;
21         sum[i]=sum[i-1]+a[i];
22         s[i][i]=i;
23     }
24     for(int d=1;d<n;d++){
25         for(int i=1;i<=2*n-d;i++){
26             int j=i+d;
27             for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
28                 int tmp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
29                 if(tmp<dp[i][j]){
30                     dp[i][j]=tmp;
31                     s[i][j]=k;
32                 }
33             }
34         }
35     }
36     int ans=INF,d=n-1;
37     for(int i=1;i<=2*n-d;i++){
38         int j=i+d;
39         ans=min(ans,dp[i][j]);
40     }
41     printf("%d\n",ans);
42     return 0;
43 }

　

51Nod 1022 石子歸並 V2（區間DP+四邊形優化）