python實現迭代法解方程
阿新 • • 發佈:2019-02-06
一元三次方程x^3-2x+1=0,給定誤差0.0001,迭代法求解。有3個實數解,其中一個是1。
有最大迭代次數判斷,以及判斷迭代是否收斂的演算法。
牛頓迭代法
# -*- coding= utf-8 -*- # 一元三次方程x^3-2x+1=0,給定誤差0.0001,迭代法求解。有3個實數解,其中一個是1。 # 有最大迭代次數判斷,以及判斷迭代是否收斂的演算法。 def f(x): # f的方程 return x**3.0 - 2.0*x + 1.0 def f_first_order(x): # f的一階導數 return 3.0 * x ** 2 -2.0 def get_root(x0, max_iter=50, tol = 1e-7): # 將初始值浮點化 p0 = x0 * 1.0 for i in range(max_iter): # f的一階導數不能為0,最普遍的說法是不能非正定 p = p0 - f(p0)/ f_first_order(p0) # 如果小於精度值則退出迭代 if abs(p - p0) < tol: # tol是判斷迭代更新的閾值 return u'經過%s次的迭代,我們估計的引數值是%s' % (i+1, p) p0 = p print (u'已達到最大迭代次數, 但是仍然無法收斂') if __name__ == '__main__': print (get_root(2)) # 由於牛頓迭代方法是區域性最優解,不同的初始值有不同的結果。初始值分別取2、0、-2
梯度下降法
# -*- coding: utf-8 -*- # 梯度下降法 def f(x): # 忽略常數項 return x**3.0 - 2.0*x + 1.0 def f_first_order(x): # f的方程,raw_f的一階導數 return 3.0 * x ** 2 -2.0 def get_root(x0, max_iter=100000, tol=1e-10, step=0.001): # 初始引數浮點化 p0 = x0 * 1.0 for i in range(max_iter): p = p0 - step * f_first_order(p0) # 如果小於精度值則退出迭代 if abs(f(p0) - f(p)) < tol: return u'經過%s次的迭代,我們估計的引數值是%s' % (i+1, p) p0 = p print (u'已達到最大迭代次數, 但是仍然無法收斂') if __name__ == '__main__': print (get_root(2))
哈雷迭代法
# -*- coding: utf-8 -*- # 哈雷迭代法 def f(x): # f的方程,raw_f的一階導數 return x**3.0 - 2.0*x + 1.0 def f_first_order(x): # f的一階導數 return 3.0 * x ** 2 -2.0 def f_second_order(x): # f的二階導數 return 6.0 ** x def get_root(x0, max_iter=50, tol=1e-5, step=1): p0 = x0 * 1.0 for i in range(max_iter): # f的一階導數不能為0,最普遍的說法是不能非正定 discr = f_first_order(p0) ** 2 - 2 * f(p0) * f_second_order(p0) if discr < 0: p = p0 - step * f(p0)/ f_first_order(p0) else: if f_first_order(p0) >= 0: p = p0 - step * 2 * f(p0) / (f_first_order(p0) + f_first_order(p0) * (discr ** 0.5)) else: p = p0 - step * 2 * f(p0) / (f_first_order(p0) - f_first_order(p0) * (discr ** 0.5)) # 如果小於精度值則退出迭代 if abs(p - p0) < tol: return u'經過%s次的迭代,我們估計的引數值是%s' % (i+1, p) p0 = p print (u'已達到最大迭代次數, 但是仍然無法收斂') if __name__ == '__main__': print (get_root(2))