文章寫的有點急。有錯誤的地方望指出
我學習 FFT 是一個比較慢的過程。 期間反反覆覆。 我寫這篇博文只是一個非常淺顯的理解。同時也可以幫助初學者在學習FFT的時候。有所偏重。避免太多思維上的負擔。

直接正題吧：

首先：$DFT$本身並不負責多項式之間的乘法。

$DFT$只是一種變換。

$FFT$則是DFT的快速演算法。（分治提高效率）

利用$FFT$ 。我們快速的將多項式變換為利於計算的形式

用這種方便計算的形式計算出來兩個多項式的乘積。

這時候我們雖然已經得到目標多項式。但其形式並不是我們想要的

所以 之後利用 $FFT$的逆運算又快速的變換回去

我們記：$F$

FTFFT的逆運算為 $FFT^-$

對於一個$n$次多項A的表示。最常見的形式(係數表達)：

$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$

$這裡的n次多項式是指最高次項指數為n-1的多項式$

小學生手算 係數形式 的 多項式乘法 的 複雜度是 $O(n^2)$

如果我們知道了一個$n$次多項式 的曲線上的$n$個不同的的點。

我們是可以計算出來這個多項式的

$why？$

把係數看做未知數。列出來n個方程組。解出來這n個係數。

也就是說，給出曲線上的n個點：

$<(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),.....(x_{n-1},y_{n-1})>$

我們可以確定其係數形式；

我們稱這種表達一個多項式的方法叫：點值表達

他有很多優點。比如可以$O(n)$時間內計算一個多項式乘法

再給出一個多項式：

$B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$

設$A(x)$與$B(x)$在取相同x的點值表達為：

$<(x_0,A_0),(x_1,A_1),(x_2,A_2),.....(x_{2n-2},A_{2n-2})>$

$<(x_0,B_0),(x_1,B_1),(x_2,B_2),.....(x_{2n-2},B_{2n-2})>$

這裡$A_i=A(x_i)$ ,$\ \ \ \ \ B_i=B(x_i)$

則$A(x)*B(x)$為：

$<(x_0,A_0B_0),(x_1,A_1B_1),(x_2,A_2B_2),.....(x_{2n-2},A_{2n-2}B_{2n-2})>$

非常方便。順其自然；

之所以$A(x)$與$B(x)$多取一些點。是因為$A(x)*B(x)$的次數界增加。

取點不足會導次數界達不到$2n-1$

對於一個$n$次多項式。隨機求其n個不同的點的樸素方法複雜度是$O(n^2)$

假設 n為偶數。那麼我們把$A(x)$。重組為兩個多項式：

設其係數的下標為偶陣列成的多項式為$A^{[0]}(x)$：

$A^{[0]}(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+...+a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1}$

設其係數的下標為奇陣列成的多項式為$A^{[1]}(x)$：

$A^{[1]}(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+...+a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1}$

所以有：

$A(x_i)=A^{[0]}(x_i^2)+x_iA^{[1]}(x_i^2)$

好像並不會優化運算。

因為$<x_0^2,x_1^2,....x_{n-1}^2>$