快速乘法通常有兩類應用：一、整數的運算，計算(a*b) mod c 二、矩陣快速乘法
一、整數運算：（快速乘法、快速冪）

先說明一下基本的數學常識：

(a*b) mod c == ( (a mod c) * (b mod c) ) mod c //這最後一個mod c 是為了保證結果不超過c

對於2進位制，2n可用1後接n個0來表示、對於8進位制，可用公式 i+3*j == n （其中 0<= i <=2 ），對於16進位制，可用 i+4*j==n（0 <= i <=3）來推算，表達形式為2i 後接 j 個0。

接下來讓我們儘可能簡單的描述快速乘法的思想：
a*b

快速乘法的基本思想 ，是二進位制和乘法分配律的結合，（不由得想起浮點數不滿足結合律，嚴重吐槽！！！╮(╯-╰)╭），比如說，13 ==（1101）2 ，4*13等於4*（1101）2 ，用分配律展開得到4*13 == 4*（1000+100+1）2，我們不難觀察出，快速冪可以通過判斷當前的位（bit）是1還是0，推斷出是否需要做求和操作，每次移動到下一位（bit）時，就對ans進行*2操作，等待是否求和。由於除以2和位移操作是等效的，因此這也可以看作是二分思想的應用，這種演算法將b進行二分從而減少了不必要的運算，時間複雜度是log（n）。

a^b

快速冪其實可以看作是快速乘法的特例，在快速冪中，我們不再對ans進行2操作，因為在a^b中b的意義已經從乘數變成了指數，但是我們可以仍然把b寫成二進位制，舉例說明：此時，我們將4*13改為4^13，13=（1101）2 ，二進位制13寫開我們得到（1000+100+1），注意，這裡的所有二進位制是指數，指數的相加意味著底數相乘，因此有4^13 == 48 * 44 * 41。再注意到指數之間的2倍關係，我們就可以用很少的幾個變數，完成這一演算法。這樣，我們就將原本用迴圈需要O(n)的演算法，改進為O（logN）的演算法。

按照慣例，給出儘可能簡潔高效的程式碼實現 （以下所有int都可用long long 代替）

首先，給出快速乘法的實現：

int qmul(int a, int b){//根據資料範圍可選擇long long 
    int ans=0;
    while(b){
        if(b&1)
            ans+=a;//按位與完成位數為1的判斷
        b>>=1;
        a<<=1;//位運算代替/2和*2
    }
    return ans;
}

快速乘法取模:

int qmul_mod(int a, int b,int mod){//根據資料範圍可選擇long long 
    int ans=0;
    while
 
(b){
        if((b&1)
            ans=(ans+a)%mod;//這裡需要b%=mod 以及a%=mod
        b>>=1;
        a<<=1;//位運算代替/2和*2
    }
    return ans;// 
}

接下來是快速冪的實現：

//快速冪 a^n 
int qpow(int a, int n){//根據資料範圍可選擇long long 
    if(a==0)return 0;//這是個坑，校賽被坑過，很多網上的實現都沒寫這一點
    int ans=1;
    while(n){
        if(n&1)
            ans*=x;//和快速乘法的區別
    x*=x;//區別，同上
        n>>=1;

    }
    return ans;
}

以及含有取模的快速冪:

int qpow_mod(int a, int n,int mode){//根據資料範圍可選擇long long 
    if(a==0)
        return 0;//這是個坑，校賽被坑過，很多網上的實現都沒寫這一點
    int ans=1;
    while(n){
        if(n&1)
            ans=(ans*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        n>>=1;

    }
    return ans;
}

矩陣乘法：

int c[N][N];  
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
{  
    memset(c,0,sizeof c);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        for(int k=1;k<=n;k++)  
        for(int j=1;j<=n;j++)  
        c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
} 

矩陣快速冪:
就是算A^n;方法很簡單，把快速冪演算法中的乘法改成矩陣的乘法就可以了

    const int N=10;  
    int tmp[N][N];  
    void multi(int a[][N],int b[][N],int n)  
    {  
        memset(tmp,0,sizeof tmp);  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
            for(int j=1;j<=n;j++)  
            for(int k=1;k<=n;k++)  
            tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];  
        for(int i=1;i<=n;i++)  
            for(int j=1;j<=n;j++)  
            a[i][j]=tmp[i][j];  
    }  
    int res[N][N];  
    void Pow(int a[][N],int n)  
    {  
        memset(res,0,sizeof res);  
        for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=1;  
        while(n)  
        {  
            if(n&1)  
                multi(res,a,n);//res=res*a;複製直接在multi裡面實現了；  
            multi(a,a,n);//a=a*a  
            n>>=1;  
        }  
    }