算法初級面試題08——遞歸和動態規劃的精髓、階乘、漢諾塔、子序列和全排列、母牛問題、逆序棧、最小的路徑和、數組累加成指定整數、背包問題
阿新 • • 發佈：2019-02-07
數據 先來 練習 過程 move sin nbsp add generate
第八課主要介紹遞歸和動態規劃
介紹遞歸和動態規劃
暴力遞歸：
1，把問題轉化為規模縮小了的同類問題的子問題
2，有明確的不需要繼續進行遞歸的條件(base case)
3，有當得到了子問題的結果之後的決策過程
4，不記錄每一個子問題的解
動態規劃
1，從暴力遞歸中來
2，將每一個子問題的解記錄下來，避免重復計算
3，把暴力遞歸的過程，抽象成了狀態表達
4，並且存在化簡狀態表達，使其更加簡潔的可能
圖靈引入的是：我不知道怎麽算，但是我知道怎麽試。知道怎麽暴力破解出來。
要學會，練習懂得怎麽嘗試。
題目一
求n!的結果
循環是一個知道怎麽算的過程（從1乘到n）。
遞歸是子問題拆分到最小問題的嘗試過程。
public class Code_01_Factorial { public static long getFactorial1(int n) { if (n == 1) { return 1L; } return (long) n * getFactorial1(n - 1); } public static long getFactorial2(int n) { long result = 1L; for (inti = 1; i <= n; i++) { result *= i; } return result; } public static void main(String[] args) { int n = 5; System.out.println(getFactorial1(n)); System.out.println(getFactorial2(n)); } }
題目二
漢諾塔問題（不能大壓小，只能小壓大）
打印n層漢諾塔從最左邊移動到最右邊的全部過程
左中右另稱為 from、to、help。
劃分子問題
1、先把1~n-1從from移動到help
2、把單獨的n移動到to
3、1~n-1從help移動到to
時間復雜度就是：
T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1) = 2T(n-1)+1（一個等比公式）
T(n-1)是移動到help
1是從from直接移動到to
T(n-1)是把全部n-1挪回去
總的步數是2的N次方減一
這個題目要學會嘗試。
也可以寫六個移動的遞歸，來逐一實現步驟。
（該問題最基礎的一個模型就是，一個竹竿上放了2個圓盤，需要先將最上面的那個移到輔助竹竿上，然後將最底下的圓盤移到目標竹竿，最後把輔助竹竿上的圓盤移回目標竹竿。）
public class Code_02_Hanoi { public static void hanoi(int n) { if (n > 0) { func(n, n, "left", "mid", "right"); } } public static void func(int rest, int down, String from, String help, String to) { if (rest == 1) { System.out.println("move " + down + " from " + from + " to " + to); } else { func(rest - 1, down - 1, from, to, help); func(1, down, from, help, to); func(rest - 1, down - 1, help, from, to); } } //課堂上的代碼 //N 表示當前是 1~N的問題 //一開始都在from上 public static void process(int N, String from, String to, String help) { if (N == 1) {//就只有一個了，可以直接移動 System.out.println("Move 1 from " + from + " to " + to); } else {//否則就是1~N的問題 process(N - 1, from, help, to);//把1~N-1個從from移動到help System.out.println("Move " + N + " from " + from + " to " + to);//單獨把N移動到to process(N - 1, help, to, from);//第三步是挪回來,把在help上的挪到to } } public static void moveLeftToRight(int N) { if (N == 1) { System.out.println("move 1 from left to right"); } else { moveLeftToMid(N - 1);//先把N-1移動到中間 System.out.println("move " + N + "from left to right");//把N移動到目的地 moveMidToRight(N - 1);//再把N-1移動到目的地 } } public static void moveRightToLeft(int N) { } public static void moveLeftToMid(int N) { if (N == 1) { System.out.println("move 1 from left to mid"); } moveLeftToRight(N - 1); System.out.println("move " + N + "from left to mid"); moveRightToMid(N - 1); } public static void moveMidToLeft(int N) { } public static void moveRightToMid(int N) { } public static void moveMidToRight(int N) { if (N == 1) { System.out.println("move 1 from mid to right"); } moveMidToLeft(N - 1); System.out.println("move " + N + "from mid to right"); moveLeftToRight(N - 1); } public static void main(String[] args) { int n = 3; hanoi(n); } }
題目三
打印一個字符串的全部子序列，包括空字符串
怎麽把腦裏面的嘗試變成code，就是寫遞歸的能力
嘗試方法：
一開始是空字符串，經過0有兩個決定要a和不要a，經過1也要決定要不要b，一直嘗試下去，列舉所有情況。
可以畫一下你想嘗試的圖，先來個小規模的，再去寫遞歸就沒那麽難寫了。
public class Code_03_Print_All_Subsquences { public static void printAllSubsquence(String str) { char[] chs = str.toCharArray(); process(chs, 0); } public static void process(char[] chs, int i) { if (i == chs.length) { System.out.println(String.valueOf(chs)); return; } process(chs, i + 1); char tmp = chs[i]; chs[i] = 0;//用空格代替字符 process(chs, i + 1); chs[i] = tmp;//直接使用字符 } // public static void function(String str) { // char[] chs = str.toCharArray(); // process(chs, 0, new ArrayList<Character>()); // } // // public static void process(char[] chs, int i, List<Character> res) { // if(i == chs.length) { // printList(res); // } // List<Character> resKeep = copyList(res); // resKeep.add(chs[i]); // process(chs, i+1, resKeep); // List<Character> resNoInclude = copyList(res); // process(chs, i+1, resNoInclude); // } // // public static void printList(List<Character> res) { // // ...; // } // // public static List<Character> copyList(List<Character> list){ // return null; // } //課堂上的版本 public static void printAllSub(char[] str,int i,String res){ if (i == str.length){//到達字符串的末尾，已經沒有選擇了 System.out.println(res); return; } printAllSub(str,i+1,res+" ");//不要當前字符的路 printAllSub(str,i+1,res+str[i]);//要當前字符的路 } public static void printAllPermutation(){ } public static void main(String[] args) { String test = "abc"; printAllSubsquence(test); printAllSub(test.toCharArray(),0,""); } }
題目四
打印一個字符串的全部排列
進階
打印一個字符串的全部排列，要求不要出現重復的排列
public class Code_04_Print_All_Permutations { public static void printAllPermutations1(String str) { char[] chs = str.toCharArray(); process1(chs, 0); } public static void process1(char[] chs, int i) { if (i == chs.length) { System.out.println(String.valueOf(chs)); } for (int j = i; j < chs.length; j++) { swap(chs, i, j); process1(chs, i + 1); swap(chs, i, j);//回溯 } } public static void printAllPermutations2(String str) { char[] chs = str.toCharArray(); process2(chs, 0); } public static void process2(char[] chs, int i) { if (i == chs.length) { System.out.println(String.valueOf(chs)); } HashSet<Character> set = new HashSet<>(); for (int j = i; j < chs.length; j++) { if (!set.contains(chs[j])) { set.add(chs[j]); swap(chs, i, j); process2(chs, i + 1); //swap(chs, i, j); } } } public static void swap(char[] chs, int i, int j) { char tmp = chs[i]; chs[i] = chs[j]; chs[j] = tmp; } public static void main(String[] args) { String test1 = "abc"; printAllPermutations1(test1); System.out.println("======"); printAllPermutations2(test1); System.out.println("======"); String test2 = "acc"; printAllPermutations1(test2); System.out.println("======"); printAllPermutations2(test2); System.out.println("======"); } }
題目五
母牛每年生一只母牛，新出生的母牛成長三年後也能每年生一只母牛，假設不會死。求N年後，母牛的數量。
一遇到這種遞推的題目，不知道怎麽試，先列出前幾項，遞推是有高度結構化的解的。
然後要想為什麽？
F(n) = F(n-1) + F(n-3)
因為牛都不會死，所以會有去年的牛F(n-1),三年前牛的數量，此時都可以生小牛，所以會有F(n-3)這部分。
public class Code_05_Cow { public static int cowNumber1(int n) { if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2 || n == 3) { return n; } return cowNumber1(n - 1) + cowNumber1(n - 3); } //非遞歸版本 public static int cowNumber2(int n) { if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2 || n == 3) { return n; } int res = 3; int pre = 2; int prepre = 1; int tmp1 = 0; int tmp2 = 0; for (int i = 4; i <= n; i++) { tmp1 = res; tmp2 = pre; res = res + prepre; pre = tmp1; prepre = tmp2; } return res; } public static void main(String[] args) { int n = 20; System.out.println(cowNumber1(n)); System.out.println(cowNumber2(n)); } }
進階
如果每只母牛只能活10年，求N年後，母牛的數量。
題目六
給你一個棧，請你逆序這個棧，不能申請額外的數據結構，只能使用遞歸函數。如何實現？
本題考查棧的操作和遞歸函數的設計，我們需要設計出兩個遞歸函數。
遞歸函數一：將棧stack 的棧底元素返回並移除。
具體過程就是如下代碼中的getAndRemoveLastElement 方法。
如果從stack 的棧頂到棧底依次為3、2、1，這個函數的具體過程如下圖所示。
遞歸函數二：逆序一個棧，就是題目要求實現的方法，具體過程就是如下代碼中的reverse方法。該方法使用了上面提到的getAndRemoveLastElement 方法。
如果從stack 的棧頂到棧底依次為3、2、1，reverse 函數的具體過程如圖1-5 所示。
getAndRemoveLastElement 方法在圖中簡單表示為get 方法，表示移除並返回當前棧底元素。
public class Code_06_ReverseStackUsingRecursive { /** * 以1，2，3為例，從棧頂到棧底依次為3，2，1 */ public static void reverse(Stack<Integer> stack) { if (stack.isEmpty()) { return; } int i = getAndRemoveLastElement(stack);//得到棧底元素 reverse(stack);//遞歸，所以i依次為1，2，3 stack.push(i);//回溯，依次壓入3，2，1 } //得到棧底元素並它移除，並且其它元素壓回棧 public static int getAndRemoveLastElement(Stack<Integer> stack) { int result = stack.pop(); if (stack.isEmpty()) { return result; } else { int last = getAndRemoveLastElement(stack); stack.push(result);//回溯，將其它元素重新壓回棧 return last;//返回棧底元素 } } public static void main(String[] args) { Stack<Integer> test = new Stack<Integer>(); test.push(1); test.push(2); test.push(3); test.push(4); test.push(5); reverse(test); while (!test.isEmpty()) { System.out.println(test.pop()); } } }
題目七
給你一個二維數組，二維數組中的每個數都是正數，要求從左上角走到右下角，每一步只能向右或者向下。沿途經過的數字要累加起來。返回最小的路徑和。
沒見過的動態規劃有一個統一的套路，寫出遞歸版本嘗試版本後，得出來的動態規劃的方法是高度套路的。
所有動態規劃都是由暴力版本優化來的。
問題劃分為了：向下或者向右的結果，從中選最小的路徑，就是最後的答案。
//課堂上的代碼 public static int walk(int[][] matrix, int i, int j) { int x = matrix.length - 1; int y = matrix[0].length - 1; if (i == x && j == y) { return matrix[i][j]; } if (i == x)//如果i到達行底部，只能向右走。 return matrix[i][j] + walk(matrix, i, j + 1); if (j == y)//如果j到達列邊界，只能向下走。 return matrix[i][j] + walk(matrix, i + 1, j); //其他情況，需要對向下和向右進行對比，選出最優解 int right = walk(matrix, i, j + 1); int down = walk(matrix, i + 1, j); return matrix[i][j] + Math.min(right, down); }
暴力枚舉有待優化：有大量的重復解產生，很多部分都重復計算。
把重復計算的部分緩存起來，重復的時候直接調用就能省時間。
什麽樣的嘗試版本遞歸可以改成動態規劃？
當把遞歸過程展開，發現有重復的狀態，與到達它的路徑是沒有關系的，那麽它一定能改成動態規劃（無後效性問題）。
有後效性的是，漢羅塔、N皇後問題（前面的舉動會影響後面的結果）。
準備一個dp表
1、把需要的位置點出來
2、回到base case中把不被依賴的位置設置好（這題是最後一行/列），然後分析普遍位置是怎麽依賴的（需要哪些位置的幫助），反過去就是整個計算順序。 依次計算，推到頂部就是答案。
類似一個搭積木的過程，堆積到一定條件就能出現答案。
public class Code_07_MinPath { public static int minPath1(int[][] matrix) { return process1(matrix, matrix.length - 1, matrix[0].length - 1); } //從{i,j}出發，到達最右下角位置，最小路徑和是多少？ public static int process1(int[][] matrix, int i, int j) { int res = matrix[i][j]; if (i == 0 && j == 0) { return res; } if (i == 0 && j != 0) { return res + process1(matrix, i, j - 1); } if (i != 0 && j == 0) { return res + process1(matrix, i - 1, j); } return res + Math.min(process1(matrix, i, j - 1), process1(matrix, i - 1, j)); } //動態規劃 public static int minPath2(int[][] m) { if (m == null || m.length == 0 || m[0] == null || m[0].length == 0) { return 0; } int row = m.length; int col = m[0].length; int[][] dp = new int[row][col]; dp[0][0] = m[0][0]; //第一列賦值 for (int i = 1; i < row; i++) { dp[i][0] = dp[i - 1][0] + m[i][0]; } //第一行賦值 for (int j = 1; j < col; j++) { dp[0][j] = dp[0][j - 1] + m[0][j]; } //最優賦值 for (int i = 1; i < row; i++) { for (int j = 1; j < col; j++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + m[i][j]; } } return dp[row - 1][col - 1]; } // for test public static int[][] generateRandomMatrix(int rowSize, int colSize) { if (rowSize < 0 || colSize < 0) { return null; } int[][] result = new int[rowSize][colSize]; for (int i = 0; i != result.length; i++) { for (int j = 0; j != result[0].length; j++) { result[i][j] = (int) (Math.random() * 10); } } return result; } //課堂上的代碼 public static int walk(int[][] matrix, int i, int j) { int x = matrix.length - 1; int y = matrix[0].length - 1; if (i == x && j == y) { return matrix[i][j]; } if (i == x)//如果i到達行底部，只能向右走。 return matrix[i][j] + walk(matrix, i, j + 1); if (j == y)//如果j到達列邊界，只能向下走。 return matrix[i][j] + walk(matrix, i + 1, j); //其他情況，需要對向下和向右進行對比，選出最優解 int right = walk(matrix, i, j + 1); int down = walk(matrix, i + 1, j); return matrix[i][j] + Math.min(right, down); } public static void main(String[] args) { int[][] m = {{1, 3, 5, 9}, {8, 1, 3, 4}, {5, 0, 6, 1}, {8, 8, 4, 0}}; System.out.println(minPath1(m)); System.out.println(minPath2(m)); m = generateRandomMatrix(6, 7); System.out.println(minPath1(m)); System.out.println(minPath2(m)); } }
題目八
給你一個數組arr，和一個整數aim。如果可以任意選擇arr中的數字，能不能累加得到aim，返回true或者false
這是一個無後效性問題。可以使用dp，不管之前做了什麽選擇，只要是之前的累加和、步數是固定的，返回值一定確定。
i就是數組長度，sum的範圍是全部數的和。
首先查看遞歸的base case，分析出最後一行，只有aim對應的列是T其余全是F，通過查看遞歸的規律，普遍的位置依賴的是兩種情況，[i+1,sum]和[i+1,sum+arr[i]]，逐個計算把整個dp數組填滿。如果aim超出sum，那肯定是計算不出來的，因為sum是數組全部數加起來的和。
最後計算出[0,0]的位置，可以直接返回。
和題意沒關系了。（從暴力遞歸中總結出來）
有負數怎麽辦？要設計一下
public class Code_08_Money_Problem { public static boolean money1(int[] arr, int aim) { return process1(arr, 0, 0, aim); } public static boolean process1(int[] arr, int i, int sum, int aim) { if (sum == aim) return true; // sum != aim if (i == arr.length) return false; return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim); } public static boolean money2(int[] arr, int aim) { boolean[][] dp = new boolean[arr.length + 1][aim + 1]; for (int i = 0; i < dp.length; i++) { dp[i][aim] = true;//以目標金額為列的肯定為true } for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {//從最後一行開始 for (int j = aim - 1; j >= 0; j--) {//aim往後的都超過，沒必要看 dp[i][j] = dp[i + 1][j];//通過直接的下方的判斷。 if (j + arr[i] <= aim) {//如果該數加上arr[i](當前可以累加的數)少於等於目標數。 // 有可能可行，通過查看加上了arr[i](當前可以累加的數)的狀態來判斷 dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i + 1][j + arr[i]]; } } } return dp[0][0]; } public static boolean check(int[] arr,int i,int sum,int aim){ if (i == arr.length){//判斷是否走到最後一步 return sum == aim; } return check(arr,i+1,sum,aim) || check(arr,i+1,sum+arr[i],aim); } public static void main(String[] args) { int[] arr = { 1, 4, 8 }; int aim = 12; // System.out.println(money1(arr, aim)); // System.out.println(money2(arr, aim)); System.out.println(check(arr,0,0,aim)); } }
題目九
給定兩個數組w和v，兩個數組長度相等，w[i]表示第i件商品的重量，v[i]表示第i件商品的價值。 再給定一個整數bag，要求你挑選商品的重量加起來一定不能超過bag，返回滿足這個條件下，你能獲得的最大價值。
public class Code_09_Knapsack { public static int maxValue1(int[] c, int[] p, int bag) { return process1(c, p, 0, 0, bag); } public static int process1(int[] weights, int[] values, int i, int alreadyweight, int bag) { if (alreadyweight > bag) { return 0; } if (i == weights.length) { return 0; } //每次就兩種情況：1、不拿商品 2、拿商品承擔重量 return Math.max( process1(weights, values, i + 1, alreadyweight, bag), values[i] + process1(weights, values, i + 1, alreadyweight + weights[i], bag)); } //carat 克拉/重量 price 價值 public static int maxValue2(int[] c, int[] p, int bag) { int[][] dp = new int[c.length + 1][bag + 1]; for (int i = c.length - 1; i >= 0; i--) { for (int j = bag; j >= 0; j--) {//超過bag將毫無意義 dp[i][j] = dp[i + 1][j]; if (j + c[i] <= bag) { dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], p[i] + dp[i + 1][j + c[i]]); } } } return dp[0][0]; } public static void main(String[] args) { int[] c = { 3, 2, 4, 7 }; int[] p = { 5, 6, 3, 19 }; int bag = 11; System.out.println(maxValue1(c, p, bag)); System.out.println(maxValue2(c, p, bag)); } }
算法初級面試題08——遞歸和動態規劃的精髓、階乘、漢諾塔、子序列和全排列、母牛問題、逆序棧、最小的路徑和、數組累加成指定整數、背包問題