分治法的思想與應用
阿新 • • 發佈:2019-02-07
一:分治法的思想
分(divide):將問題分解成規模更小的子問題
治(conquer):將這些子問題逐個解決,若子問題規模較小而且容易解決則直接解,否則遞迴解決各個子問題
合(combine):將已經解決的子問題進行合併,最終得出原問題的解
分治法的使用會伴隨著遞迴的使用,所以對分治法的複雜度分析就是對遞迴的複雜度的分析。
(2)二分查詢:二分查詢又叫折半查詢
分(divide):把n個元素分成大致相等的兩部分,取中間的元素與x進行比較
治(conquer):在一個子陣列中進行遞迴查詢
合(combine):因為實際上並沒有真正的把序列分開,所以最後不用進行合併
T(n)=T(n/2)+ Θ(1)=T(lgn)
T(n)=T(n/2)+ Θ(1)=T(lgn)
分(divide):把n進行分解
當n為奇數時:x^n=x^(n-1)/2 * x^(n-1)/2 *x
當n為偶數時:x^n=x^(n/2) * x^(n/2)
治(conquer):使用遞迴進行求解x^(n-1)/2或者x^(n/2)
合(combine):計算最終結果
分(divide):把F(n)的問題分成求F(n-1)+F(n-2)的問題
治(conquer):使用遞迴求解子問題
合(combine):計算最終問題的解
分治法(divide_and_conquer),通俗的來說,要想統治一片領土,可以把這片領土進行分解成若干塊小部分,然後一塊塊地征服,直到所有的小土地都被征服了之後,意味著征服了這一片領土。
分治法的思想分為三部分:分(divide):將問題分解成規模更小的子問題
治(conquer):將這些子問題逐個解決,若子問題規模較小而且容易解決則直接解,否則遞迴解決各個子問題
合(combine):將已經解決的子問題進行合併,最終得出原問題的解
分治法的使用會伴隨著遞迴的使用,所以對分治法的複雜度分析就是對遞迴的複雜度的分析。
二:分治法的應用
(1)歸併排序:歸併排序是採用分治法的一個非常典型的例子
分(divide):將序列一中點為中心一分為二,分為左區間和右
治(conquer):把左右兩個子區間分別進行排序
合(combine):最後把左區間和右區間合併成有序序列
T(n)=2T(n/2)+ Θ(n)= Θ(nlgn)
其中,T(n/2)表示遞迴的複雜度,2表示分為了左右兩個區間,Θ(n)表示合併n個元素的複雜度
import java.util.Arrays; /* * 歸併排序 */ public class MergeSort { public static void merge(int []a ,int low,int mid,int high) { int[] test = Arrays.copyOf(a, high-low+1); int i = low; int j = mid + 1; int k = 0; // 把較小的數先移到新陣列中 while (i <= mid && j <= high) { if (a[i] < a[j]) { test[k++] = a[i++]; } else { test[k++] = a[j++]; } } // 把左邊剩餘的數移入陣列 while (i <= mid) { test[k++] = a[i++]; } // 把右邊邊剩餘的數移入陣列 while (j <= high) { test[k++] = a[j++]; } // 把新陣列中的數覆蓋nums陣列 for (int k2 = 0; k2 < test.length; k2++) { a[k2 + low] = test[k2]; } } public static void mergeSort(int[] a,int low,int high) { int mid=low+(high-low)/2; if(low>=high) return; mergeSort(a,low,mid); mergeSort(a,mid+1,high); //歸併 merge(a,low,mid,high); System.out.println(Arrays.toString(a)); } public static void main(String[] args) { int a[] = {48,51,69,81,23,26,54,85,64,91}; mergeSort(a,0,a.length-1); System.out.println("排序之後" + Arrays.toString(a)); }
(2)二分查詢:二分查詢又叫折半查詢
分(divide):把n個元素分成大致相等的兩部分,取中間的元素與x進行比較
治(conquer):在一個子陣列中進行遞迴查詢
合(combine):因為實際上並沒有真正的把序列分開,所以最後不用進行合併
T(n)=T(n/2)+ Θ(1)=T(lgn)
(3)乘方問題:求x的n次方/* * 二分查詢 */ public class BinarySearch { private BinarySearch(){} public static int binarySearch(Comparable[] arr,int low,int high,Comparable target) { int mid=(high-low)/2+low; while(low<=high) { if(arr[mid].compareTo(target)==0) { return mid; } if(target.compareTo(arr[mid])>0) { return binarySearch(arr,mid+1,high,target); } else { return binarySearch(arr,low,mid-1,target); } } return -1; } public static void main(String[] args) { Integer srcArray[] = {23, 26, 48, 51, 54, 64, 69, 81, 85, 91}; System.out.println(binarySearch(srcArray,0,srcArray.length,81)); } }
T(n)=T(n/2)+ Θ(1)=T(lgn)
分(divide):把n進行分解
當n為奇數時:x^n=x^(n-1)/2 * x^(n-1)/2 *x
當n為偶數時:x^n=x^(n/2) * x^(n/2)
治(conquer):使用遞迴進行求解x^(n-1)/2或者x^(n/2)
合(combine):計算最終結果
public class ChengFangWenTi {
public static long power1(long x,long n)
{
if(n==1)
{
return x;
}
return x*power(x,n-1);
}
public static long power(long x,long n)
{
if(n==1)
{
return x;
}
if(n%2==1) //當n為奇數的時候
{
return x*power(x*x,(n-1)/2);
}
return power(x*x,n/2); //當n為偶數的時候
}
public static void main(String [] args)
{
long x=2,n=10;
long a=power(x, n);
System.out.println(a);
}
}
(4)斐波那契數列分(divide):把F(n)的問題分成求F(n-1)+F(n-2)的問題
治(conquer):使用遞迴求解子問題
合(combine):計算最終問題的解
/*
* 斐波那契數列:又叫兔子數列
* F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)
*/
public class Fibonacci {
public static int show(int n){
if(n==0)
{
return 0;
}
if(n==1){
return 1;
}
if(n==2){
return 1;
}
return show(n-1)+show(n-2);
}
public static void main(String[] args)
{
int n=10;
System.out.println(show(n));
}
}