SLAM筆記（九）再談李代數
內容接SLAM筆記（一）SLAM中的數學概覽
李群：
定義：實數空間上的連續群(對乘法、逆都是連續的，解析的)
舉例：如GL(n)，SO(n)，SE(n）
李代數(Lie algebra):
定義：由一個集合，一個數域，和一個二元運算[]組成；滿足封閉、雙線性、自反性、雅克比等價。
如3D中的叉乘：就屬於一個李代數。
李代數定義於李群的正切空間上，描述了李群中元素區域性性質。在剛體運動SE(3)中，李代數表徵某處的速度（在後邊會具體分析）
舉例:so(3),se(3)
1.李群求導
運算為李括號：
引入李代數的原因是：
對於旋轉矩陣R(t)(t指代角度),由於R(0) = I,所以旋轉矩陣可以一階近似表示：
若 = 0:
其中是一個關於向量 反對稱矩陣（skew-symmetric matrix）
它的推導如下：：
這樣對旋轉矩陣R求導，只用直接左乘一個矩陣。如果R是單位矩陣，那它的導數就是，一個反對稱矩陣。
只有反對稱矩陣組成的空間，即 so(3)，我們稱之為在單位矩陣處的正切空間tangent space。
為什麼這麼稱呼它？二維曲線在某處的導數是一條切線，三維曲線在某處的導數是一個切面，所以正切空間，實際上是導數所組成的空間。
對於一般非單位矩陣的旋轉矩陣R，只要求出了單位矩陣的的正切空間，然後在 右邊乘上這個矩陣R就可以求得R對應的正切空間了。
由於反映了R的導數性質，故稱它在SO(3)的正切空間(tangent space)上。
2.指數對映：
由於 , 該微分方程可以求得一般解為：
當R(0) = I 時，上式為：
這意味著可以通過指數對映，將so(3)(w)轉換為SO(3)(R)
代表如下所示的矩陣指數形式：
（3-1）
由於題主懶得修改截圖，此處將進行了歸一化，即我們在進行指數對映時，將原來的w’分解為，其中