二次剩余&&Cipolla
目錄
- 二次剩余
- 勒讓德符號(legendre symbol)
- Cipolla‘s Algorithm.
- 代碼
- end
二次剩余
給定y和奇質數p，求x，使得\(x^2≡y(mod p)\)
勒讓德符號(legendre symbol)
以前看視頻的截圖
求解\(x^2\equiv a(mod\ p)\)時，我們可用勒讓德符號來判定他是否有解
（前提，p必須為奇素數）
\(\begin{pmatrix} \frac{a}{p} \end{pmatrix}=\begin{cases}0 (a\equiv 0(mod\ p))\\1(a\%p意義下是二次剩余)\\-1(a\%p意義下是二次非剩余)\end{cases}\)
有時為了印刷上的方便，會寫成\((a|p)\)
0認為是特殊情況，這裏不過分討論
這裏只說明第ii條，因為其他的都很顯然(或者看完ii條之後)，iii說明只他是個完全積性函數
公式\((a|p)=a^{\frac{p-1}{2}}(mod\ p)\)
也許還可以叫歐拉判別法
首先證明\(a^{\frac{p-1}{2}}(mod\ p)=1或-1\)
\(a^{p-1}-1=(a^{\frac{p-1}{2}}+1)(a^{\frac{p-1}{2}}-1)\equiv 0 (mod\ p)\)
顯然，\(a^{\frac{p-1}{2}}(mod\ p)只有=1或-1\)時，才可能成立
a為%p意義下的二次剩余時\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod\ p)\)
\(x^{2}\equiv a(mod\ p)\)也可以說為\(x\equiv a^{\frac{1}{2}}\equiv x^{p-1}(mod\ p)\)
而費馬小定理又可以得到\(x^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\)
存在x
a為%p意義下的二次非剩余時\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p)\)
也就是\(x^{p-1}\equiv -1(mod\ p)\)
而費馬小定理又可以得到\(x^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\)
所以不存在x
結論1
1到\(p-1\)中有\(\frac{p-1}{2}\)個勒讓德符號為1,\(\frac{p-1}{2}\)
在%p意義下，a,P?a平方的結果是一樣的，1 到 P?1的平方就會有\(\frac{p-1}{2}\)個互不相同的數，剩下的就不是二次剩余
結論 2
\((a+b)^p≡a^p+b^p (Mod p)\)
證明:直接展開二項式定理，因為p是質數，除了i=0和p項，其他項分子的p分母都消不掉，會被模成0，剩下\(a^p+b^p\)
Cipolla‘s Algorithm.
求解\(x^2≡y(mod p)\)時
不斷隨機a，使得\(\begin{pmatrix} \frac{a^2-y}{p} \end{pmatrix}=-1\)
結論1可以知道，隨機一兩次就能找到
令\(w=\sqrt{a^2-y}，x=(a+w)^{\frac{p+1}{2}}\)
結論3 \(w^p\equiv -w\)
證明：\(w^p\equiv w^{p-1}*w\equiv (a^2-y)^{\frac{p-1}{2}}*w\equiv -w\)
\(x^2\equiv (a+w)^{p+1}\)
\(\ \ \ \ \equiv (a+w)^{p}(a+w)\)
結論2可知
\(\ \ \ \ \equiv (a^p+w^p)(a+w)\)
結論3又知
\(\ \ \ \ \equiv(a^{p-1}*a+w^{p-1}*w)(a+w)\)
\(\ \ \ \ \equiv(a-w)(a+w)\)
\(\ \ \ \ \equiv a^2-w^2\)
\(\ \ \ \ \equiv y\)
可w這個虛部咋計算，根據拉格朗日定理，虛部系數為0
代碼
咕咕
end
太多摘抄qwq
主要參考https://blog.csdn.net/L_0_Forever_LF/article/details/79052135
wiki的圖片很棒
附帶一個題，不過沒大有聯系
求1000位數是否是完全平方數，yes or no
用幾個模數多試幾次，再勒讓德符號判定一下是否有解
二次剩余&&Cipolla