首先感謝 https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html 這篇文章，給了我很大幫助，解釋的很詳細。

最近在學習lyd的算法競賽書，學到求最長回文串的時候就看到了O(n)復雜度的Manacher算法，書上給的是hash+二分做法，復雜度為O(nlg_n),所以我就去學習了一下Manacher算法.

上面大佬的文章比較詳細了，我在這裏再說一下我當時比較迷惑地方，以及我註意的一些細節 我這個人就是和細節過不去，一點細節上解釋不明白我就感覺自己還是不會

如何計算數組 p

一般的方法，是以中心點為中心，挨個將半徑逐步擴張，直至字符串不再是回文字符串。但是這樣做，整體的算法復雜度為 O(n^2)。馬拉車算法的關鍵之處，就在於巧妙的應用了回文字符串的性質，來計算數組 p。

馬拉車算法在計算數組 p 的整個流程中，一直在更新兩個變量：

(1)id：回文子串的中心位置

(2)mx：回文子串的最後位置

使用這兩個變量，便可以用一次掃描來計算出整個數組 p，關鍵公式為：

p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

我們用圖示來理解這個公式，如下圖：

當前，我們已經得到了 p[0...i-1]，想要計算出 p[i] 來。紅1為以 j 為中心的回文子串，紅2為以 i 為中心的回文子串，紅3為以 id 為中心的回文子串（首尾兩端分別為mx的對稱點和mx）。

那麽，如果 mx 在 i 的右邊，則我們可以通過已經計算出的 p[j] 來計算 p[i]，其中 j 與 i 的中心點為 id。這裏分兩種情況：

（1） 先直接令 p[i] 的回文子串就等於 p[j] 的回文子串，即紅2長度等於紅1，然後判斷紅2的末尾是否超過了 mx，如果沒有超過，則說明 p[i] 就等於 p[j]。

為什麽呢？

因為以 id 為中心的回文子串為紅3，包含了紅1和紅2，而且紅1和紅2以 id 為中心，那麽一定有紅2=紅1。並且已經知道，紅1是以 j 為中心的最長子串，那麽紅2也肯定是以 i 為中心的最長子串。

（2）如果紅2的末尾超過了 mx，那麽就只能讓 p[i] = mx - i了，即我可以保證至少半徑到 mx 這個位置，是可以回文的，但是一旦往右超出了 mx，就不能保證了，剩下的只能用笨方法慢慢擴張來得到最長回文子串。

那如果紅2的左邊超出了mx的對稱點，怎麽辦？不會出現這種情況的，因為紅1的右邊不會超過mx。如果超過了mx，那麽在上一次叠代中，id應該更新為j，mx應該更新為 j+p[j]。在叠代中，會始終保證 mx 是所有已經得到的回文子串末端最靠右的位置。

另外，如果 mx 不在 i 的右邊呢？那就利用不了紅3的對稱性了，只能使用笨方法慢慢擴張了。

mx更新為i+p[i] 所以此時mx指的是目前最長回文串的下一個字符，因此 p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1 中不用把mx-i改為mx-i+1 ,當時這個地方還有點不解呢

string manacher(string s)
{
    string tmp = "$#";
    for (int i = 0; i < s.size(); i++)
    {
        tmp += s[i]; //插入
        tmp += "#";
    }
    int len = tmp.size();
    vector<int> p(len, 0);
    int mx = 0, id = 0, resLen = 0, resCenter = 0;
    for (int i = 1; i < len; i++) // <len就是當 i=len-1 時 p[i]+i 就是字符串最後一個字符‘\0‘  
    {
        p[i] = mx > i ? min(mx - i, p[2 * id - i]) : 1;
        while (tmp[i + p[i]] == tmp[i - p[i]]) p[i]++;
        if (i+p[i] > mx)
        {
            mx = p[i]; //更新回文串最右端 也就是目前最長回文串
            id = i;
        }
        if (p[i] > resLen)
        {
            resLen = p[i];
            resCenter = i;
        }
    }
    return s.substr((resCenter-resLen)/2,resLen-1);
}

Manacher 馬拉車算法