1 上一篇部落格介紹了使用迪傑斯特拉演算法求某個頂點到其他頂點的最短路徑，這一篇介紹使用弗洛伊德(Floyd)演算法求每一對頂點之間的最短路徑，當然也可以使用迪傑斯特演算法來求，求n次就行了。

2 弗洛伊德演算法仍從圖的帶權鄰接矩陣出發，其基本思想是:

2.1 假設求從頂點vi到vj的最短路徑

2.2 如果從vi到vj有弧，則從vi到vj存在一條長度為arcs[i][j]的路徑，該路徑不一定是最短的，尚需要進行n次試探。

2.3 首先考慮路徑(vi,v0,vj)是否存在(即判斷(vi,v0)和(v0,vj)是否存在)，如果存在，則比較(vi,vj)和(vi,v0,vj)的路徑長度取長度較短者為從vi到vj的中間頂點的序號不大於0的最短路徑。

2.4 假設在路徑上再增加一個頂點v1,也就是說，如果(vi,....,v1)和(v1,..,vj)分別是當前找到的中間頂點的序號不大於0的路徑，那麼(vi,...,v1,...,vj)就有可能是從vi到vj的中間頂點的序號不大於1的最短路徑。

2.5 將它和已經得到的從vi到vj中間頂點序號不大於0的最短路徑相比較，從中選出中間頂點的序號不大於1的最短路徑之後，再增加一個頂點v2，繼續進行試探。

2.6 以此類推，直到全部求出來。

3 解釋

3.1 2.2步應該都明白，那麼2.3步什麼意思呢？假如vi到vj有直接路徑，vi經過v0到vj也有路徑，這條路徑之可能有這三個頂點，因為v0前面不可能再有頂點了，v0在陣列中儲存的順序最靠前，(vi,v0,vj)和(vi,vj)比較，結果肯定是中間頂點不大於0的最短路徑。

3.2 2.4步呢？類似2.3步，vi到v1有路徑，中間可能會經過v0頂點，v1到vj有路徑，中間也有可能經過v0頂點，那麼(vi,..,v1,...vj）其實可能是(vi,v0,v1,vj)，也有可能是(vi,v1,vj)；就是經過的若干頂點中最大的就是v1,不能有比v1大的，求出來的路徑就有可能是從vi到vj的中間頂點的序號不大於1的最短路徑。

3.3 這樣依次類推，依次插入其他頂點。

4 疑惑

例圖

 核心程式碼

for(u=0;u<g.vertnum;u++){

        for(v=0;v<g.vertnum;v++){

            for(w=0;w<g.vertnum

                if(D[v][u]+D[u][w]<D[v][w]){//從v經u到w的一條路徑更短

                    D[v][w]=D[v][u]+D[u][w];

                    for(i=0;i<g.vertnum;i++){

                        p[v][w][i]=p[v][u][i];

                    }

                }

            }

        }

    }

為什麼根據上述的步驟就能求出每一對頂點的最短路徑呢？

假如求 a到b的最短路徑，如圖，a到b有直接路徑，但是不一定是最短的，所以要試探在中間依次插入a , b , c , d頂點比較。很明顯，依照迴圈a經過d到b的路徑最短。我們可以撥開迴圈看看，當v=0，w=1，u=2時（即a,c,b,插入a和b時可以忽略不看，對結果沒影響）,看a到c，c到b的路徑，a到c有直接路徑，c到b當經過d時才有路徑，而這個時候u=2，c到d還沒有路徑，所以這個肯定比a直接到b的路徑長；當v=0,w=1,u=3時，看a到d，d到b的路徑，a到d的路徑當插入c時就已經求出來了，d到b有直接路徑，所以這個時候比較(a,d,b)和(a,b)很明顯，前者小。所以a到b的最短路徑也求出來了。是不是還有點暈？來看關鍵點，圖上每一對頂點之間的最短路徑，都是同步在求，求a到b的最短路徑，d到b的最短路徑和求a到d的最短路徑經過的中間點是一樣的（因為u是最外層迴圈），因為d是最後一個頂點（在陣列中儲存的按順序來看），所以a到d和d到b之間的最短路徑在前面都已經求出來了，所以這樣就能夠求出來每一對頂點之間的最短路徑（vi到vj的最短路徑上需要經過若干頂點，在若干頂點中，位置最大的頂點vx，那麼要等到插入這個頂點的時候才能把最短路徑求出來，因為vi到vx的最短路徑前面插入小的頂點的時候已經求出來了，vx到vj也是）。不管vi到vj的最短路徑經過那個頂點，如果這個頂點的位置小，在前面迴圈就能求出來，如果這個頂點的位置大，在後面的迴圈能求出來。如下圖，是最簡單的例圖，摸索摸索應該能明白弗洛伊德演算法的思路吧。

c語言實現程式碼: [email protected]:hglspace/GetShortestPath2.git