給出背包容量C，M個物體，接下來M行分別給出物品價值V[i],以及物品重量W[i]，

物品編號： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品價值：20 10 12

要使得放入背包的物品價值最大化，我們知道用貪心肯定是不行的。

所以考慮動態規劃，首先定義狀態dp[i][j]為放入前i（i從小到大）個物品的最大價值，那麽i等於1的時候，放入的是物品1，這時候肯定是最優的。

接下來考慮一下j, j是當前容量；如果j < 5，就不能放，dp[1][j]=0; 那如果j > 5m就可以放了，dp[1][j] = 20;

接著 i = 2 放第二個物品的時候，求得就是 dp[2][j] 了，當 j < 5 的時候 ，同樣的dp[2][j] = 0；那當j<6的時候，是不是還是放不下第二個，只能放第一個。

那麽想一下，是不是當j>6的時候，就可以放第二個了呢？答案是可以的，但結果明顯不是最優的，想一下，dp[2][j]=20，這個20是怎麽來的呢，當然是從前一個狀態來的（註意這裏分為兩種情況）

一種是選擇第二個物品放入，另一種還是選擇前面的物品；

讓我們假設一下，j = 10 吧，這時候 dp[2][10] = max(dp[1][ 10 - w[2] ]+V[2] , dp[1][10] ); 即dp[2][10] = max(dp[1][4])+10，dp[1][10])；

結果是不是很明顯了，dp[1][4])+10是選擇了第二個，於是容量相應就減少成4，之前已經得出dp[1][4]=0，就是說選了物品2，物品1就選不了了；dp[1][10]是不選擇第二個，只選擇第一個dp[1][10]是等於20的，於是得出dp[2][10]=20；

推到這裏，我們類比往下推，就可以得出動態狀態轉移方程 ，dp[i][j] = max( dp[i-1][j - W[i] ]+ V[i] , dp[i-1][j] )

但是好像還有一些問題沒考慮完.........

看回例子：

物品編號： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品價值：20 10 12

我們知道dp[1]j=20，dp[2]j的時候是多少呢？我們看到動態轉移方程並沒有考慮j<w[i]的情況，但是我們可以加進去，由於dp[2][5]我們看出來是等於5的，為什麽？因為不能選第二個，只能選第一個，所以.....dp[2][5]是不是剛好等於dp[1][5]了呢！所以當j<w[i]的時候，dp[i][j] = dp[i-1][j]就好了.

接下來上一道例題：

題目描述

辰辰是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成為世界上最偉大的醫師。為此，他想拜附近最有威望的醫師為師。醫師為了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞裏對他說：“孩子，這個山洞裏有一些不同的草藥，采每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裏，你可以采到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓采到的草藥的總價值最大。”

如果你是辰辰，你能完成這個任務嗎？

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行有222個整數T(1≤T≤1000)T(1 \le T \le 1000)T(1≤T≤1000)和M(1≤M≤100)M(1 \le M \le 100)M(1≤M≤100)，用一個空格隔開，TTT代表總共能夠用來采藥的時間，MMM代表山洞裏的草藥的數目。
接下來的MMM行每行包括兩個在111到100100100之間（包括111和100100100）的整數，分別表示采摘某株草藥的時間和這株草藥的價值。

70 3

71 100

69 1

1 2

輸出格式：

111個整數，表示在規定的時間內可以采到的草藥的最大總價值。

3

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=100+10;
 6 int w[maxn],val[maxn];
 7 int dp[maxn][1005];
 8 
 9 int main(){
10     int t,m;
11     cin>>t>>m;
12     for( int i=1; i<=m; i++ ){
13         cin>>w[i]>>val[i];
14     }
15     for( int i=1; i<=m; i++ ){
16         for( int j=t; j>=0; j-- ){
17             if(j>=w[i]){
18                 dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i],dp[i-1][j]);
19             }
20             else{
21                 dp[i][j]=dp[i-1][j];
22             }
23         }
24     }
25     cout<<dp[m][t];
26     return 0;
27 }

01背包問題（動態規劃）