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標量、向量、矩陣和張量

• 標量（scalar）：一個標量就是一個單獨的數，它不同與線性代數中研究其他大部分物件（通常是多個數的陣列）。我們用斜體表示標量。標量通常被賦予小寫的變數名稱，比如：x$x$
• 向量（vector）： 一個向量是一列數。這些數都是有序排列的。通過次序中的索引，我們可以確定每個單獨的數。通常我們賦予向量粗體的小寫變數名稱.比如：x$\mathbf{x}$
  x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\end{array}$$
• 矩陣（matrix）：矩陣是一個二維陣列，其中的每一個元素由兩個索引（而非一個）所確定。我們通常會賦予矩陣粗體的大寫變數名稱，比如：A$\mathbf{A}$
  A=[A
  1,1A2,1A1,2A2,2](2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\end{array}\right]\end{array}$$
• 張量（tensor）：在某種情況下，我們會討論座標超過兩維的陣列。一般的，一個數組中的元素分佈在若干維座標的規則網格中，我們稱之為張量,使用A$\mathsf{A}$表示，張量A$\mathsf{A}$中座標為(x,y,z)$(x,y,z)$的元素記作Ax,y,z$A_{x,y,z}$

Python程式碼實現

使用Python建立普通二維矩陣

import numpy as np

m = np.mat([[1,2,3],[4,5,6]])
print m

輸出為：

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

使用zeros建立一個3×2$3\times 2$的0矩陣，還可以使用ones

函式建立1矩陣

from  numpy import *
import numpy as np

m = np.mat(zeros((3,2)))
print m

輸出為：

[[0. 0.]
 [0. 0.]
 [0. 0.]]

建立單位矩陣，單位矩陣部分有介紹

from numpy import *
import numpy as np

m = np.mat(eye(3,3,dtype=int))
print m

輸出為：

[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]

轉置

轉置（transpose）是矩陣的重要操作之一。矩陣的轉置是以對角線為軸的映象，這條從左上角到右下角的對角線被稱為主對角線

（main diagonal），我們將矩陣A$\mathbf{A}$的轉置表示為Aτ${\mathbf{A}}^{\tau }$，定義如下：

(Aτ)i,j=Aj,i(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& ({\mathbf{A}}^{\tau }{)}_{i,j}=A_{j,i}\end{array}$$
標量可以看作只有一個元素的矩陣。因此，標量的轉置等於它本身，a=aτ$a=a^{\tau }$
A=⎡⎣⎢A1,1A2,1A3,1A1,2A2,2A3,2⎤⎦⎥⇒Aτ=[A1,1A1,2A2,1A2,2A3,1A3,2](4)$$\begin{array}{}\text{(4)}& A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\\ A_{3,1}& A_{3,2}\end{array}\right]\Rightarrow A^{\tau }=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{1,1}& A_{2,1}& A_{3,1}\\ A_{1,2}& A_{2,2}& A_{3,2}\end{array}\right]\end{array}$$

矩陣的轉置也是一種運算,滿足下述運算規律(假設運算都可行的):
1.