問題描述：

設A和B是2個字串。要用最少的字元操作將字串A轉換為字串B。這裡所說的字元操作包括(1)刪除一個字元； (2)插入一個字元； (3)將一個字元改為另一個字元。將字串A變換為字串B所用的最少字元運算元稱為字串A到 B的編輯距離，記為d(A,B)。對於給定的字串A和字串B，計算其編輯距離 d(A,B)。

個人對問題的理解：設兩個字串s[0:i],t[0:j]，用最少的運算元（三種：增刪換，三種各花銷一次操作）將s變成t（或者t變成s，同等），先解決三種特殊情況

1）s為空，t不為空；

2）t為空，s不為空；

3）s與t相等；

對於第一第二種情況，即在i等於0時，也就是說s為空，增加j個字元，使得s轉化為t，在j等於0時，也就是說t為空，就是減少 i個字元，使得s轉化為t。

對於第三種情況，顯然為d(A,B)=0。

演算法描述：

1）現在只剩下普通（一般）情況，運用動態規劃求出遞迴方程，將原問題分解為若干個子問題進行求最優解，後得出原問題的最優解，採用“填表的方法”，設計步驟：對每個子問題只求解一次，將其結果儲存在一張表（構造一個行數為n+1 列數為 m+1 的矩陣 , 用來儲存完成某個轉換需要執行的最少操作的次數)中。然後三步a.描述最優解的結構b.遞迴定義最優解的值c.按自底向上的方式計算最優解的值d.由計算出的結構構造一個最優解，利用解決子問題的最優值從而得出原問題的最優值。

2)矩陣設為d[i][j]，儲存從S[0:i]變到t[0:j]的編輯距離。這裡S[0:i]變到t[0:j]有三種情況，要求出這三種情況的最小值作為最小運算元。分別為：

（1）設可以在k1個操作內將s[0：i-1]轉換為t[0：j]，用k1+1次操作將s[0：i]轉化為t[0：j]，只需要先在“s[0：i]轉化為t[0：j]”的操作開端做1次移除操作移除s[i]將s[0:i]轉化為s[0:i-1]，然後再做k1個操作就可以轉換為t[0:j]。對應表格，既矩陣所求d[i][j]的左格。

（2）設可以在k2個操作內將s[0：i]轉換為t[0：j-1]，用k2+1次操作將s[0：i]轉化為t[0：j]，先用k2次操作將s[0:i]轉化為t[0：j-1]，然後再執行1次插入操作在“s[0:i]變成t[0：j-1]的操作”的末尾插入“增加t[j]”的一次操作，即可將s[0:i]轉化為t[0:j]。對應表格，既矩陣所求

（3）設可以在k3個操作內將s[0：i-1]轉化為t[0：j-1] ，若s[i]==t[j]，S[0:i]變到t[0:j]就只要k3個操作，若s[i]！=t[j]，則需1次換操作加在s[0：i-1]轉化為t[0：j-1]的運算元基礎上就可以將S[0:i]變到t[0:j]，共k3+1次。對應所求d[i][j]的左上格。

即：（註釋）

     子問題識別符號的含義：從S[0:i]變到t[0:j]的編輯距離。(1<=i<=m,1<=j<=n)

     子問題遞迴公式：

      n   (m == 0 ) ;（n為字串t的長度，m為字串s的長度）

　　  m    (n== 0 )  ;

     d[j][i] =Math.min(d[j-1][i-1]+1,Math.min(d[j][i-1] + 1,d[j-1][i] + 1 ))   （s.charAt(i-1)!=t.charAt(j-1)）  1<=i<=m,1<=j<=n//java編寫

     d[j][i] =Math.min(d[j-1][i-1],Math.min(d[j][i-1] + 1,d[j-1][i] + 1 ))   （s.charAt(i-1)==t.charAt(j-1)）  1<=i<=m,1<=j<=n

     原問題最優解：  雙重迴圈掃描完從S[0:i]變到t[0:j]後，即S[0:m]變到t[0:n],最優值為d[n][m]的編輯距離。

3）對於d[i][j]二維陣列，可以開闢為d[n+1][m+1]，n為字串t的長度，m為字串s的長度。首先進行如下初始化：

再根據以上所說的三種方法來填表，完成後如圖：

如圖，最優值為d[n][m]即為所求兩串的編輯距離。

申請二維陣列空間程式碼：

初始化程式碼：

掃描陣列的程式碼（即解決每個子問題最終求得原問題解的過程的程式碼）：

結合上述所有情況：完整程式碼如下：

**注：//之前把當兩個字元相同時直接定為d[j-1][i-1]，這個需不需要比較的問題，仍在討論中，保險起見，暫時更改為上述做法。

演算法時間及空間複雜度分析（此次為java編寫）：

   由上述程式碼得，求子問題時的雙重迴圈加兩個初始化單迴圈的線性時間，再加上比較等操作的常數時間，得時間複雜度為O（M*N），而空間複雜度，花銷了一個二維陣列的輔助空間，得空間複雜度也為O（M*N）。

對於動態規劃的問題，解決問題前得思考好各種可能出現的情況，並且寫好三步：

      子問題識別符號的含義：

      子問題遞迴公式：

      原問題最優解：

填表方法十分巧妙和便捷，得記牢此方法。