要使計算機能完成人們預定的工作，首先必須為如何完成預定的工作設計一個演算法，然後再根據演算法編寫程式。計算機程式要對問題的每個物件和處理規則給出正確詳盡的描述，其中程式的資料結構和變數用來描述問題的物件，程式結構、函式和語句用來描述問題的演算法。演算法資料結構是程式的兩個重要方面。 
演算法是問題求解過程的精確描述，一個演算法由有限條可完全機械地執行的、有確定結果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務和它們被執行的順序。計算機按演算法指令所描述的順序執行演算法的指令能在有限的步驟內終止，或終止於給出問題的解，或終止於指出問題對此輸入資料無解。 
    通常求解一個問題可能會有多種演算法可供選擇，選擇的主要標準是演算法的正確性和可靠性，簡單性和易理解性。其次是演算法所需要的儲存空間少和執行更快等。 
    演算法設計是一件非常困難的工作，經常採用的演算法設計技術主要有迭代法、窮舉搜尋法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動態規劃法等等。另外，為了更簡潔的形式設計和藐視演算法，在演算法設計時又常常採用遞迴技術，用遞迴描述演算法。

一、迭代法 

迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法匯出等價的形式x=g(x)，然後按以下步驟執行： 
（1）   選一個方程的近似根，賦給變數x0； 
（2）   將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1)，並將結果存於變數x0； 
（3）   當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重複步驟（2）的計算。 
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程式的形式表示為：
【演算法】迭代法求方程的根 
{   x0=初始近似根； 
do { 
    x1=x0； 
    x0=g(x1)；   /*按特定的方程計算新的近似根*/ 
    } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)； 
printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)； 
} 
迭代演算法也常用於求方程組的根，令 
    X=（x0，x1，…，xn-1） 
設方程組為： 
    xi=gi(X)     (I=0，1，…，n-1) 
則求方程組根的迭代演算法可描述如下： 
【演算法】迭代法求方程組的根 
{   for (i=0;i      x=初始近似根; 
    do { 
      for (i=0;i        y=x; 
      for (i=0;i        x=gi(X); 
      for (delta=0.0,i=0;i        if (fabs(y-x)>delta)     delta=fabs(y-x)； 
      } while (delta>Epsilon)； 
    for (i=0;i      printf(“變數x[%d]的近似根是 %f”，I，x)； 
    printf(“\n”)； 
} 
具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況： 
（1）   如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死迴圈，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程式中對迭代的次數給予限制； 
（2）   方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。

二、窮舉搜尋法

窮舉搜尋法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進行逐一列舉和檢驗，並從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。
【問題】 將A、B、C、D、E、F這六個變數排成如圖所示的三角形，這六個變數分別取[1，6]上的整數，且均不相同。求使三角形三條邊上的變數之和相等的全部解。如圖就是一個解。
程式引入變數a、b、c、d、e、f，並讓它們分別順序取1至6的證書，在它們互不相同的條件下，測試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變數之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把它們輸出。當這些變數取盡所有的組合後，程式就可得到全部可能的解。細節見下面的程式。
【程式1】
# include 
void main()
{ int a,b,c,d,e,f;
for (a=1;a<=6;a++) 
for (b=1;b<=6;b++) {
if (b==a) continue;
for (c=1;c<=6;c++) {
if (c==a)||(c==b) continue;
for (d=1;d<=6;d++) {
if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;
for (e=1;e<=6;e++) {
if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;
f=21-(a+b+c+d+e);
if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {
printf(“%6d,a);
printf(“%4d%4d”,b,f);
printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);
scanf(“%*c”);
}
}
}
}
}
}
按窮舉法編寫的程式通常不能適應變化的情況。如問題改成有9個變數排成三角形，每條邊有4個變數的情況，程式的迴圈重數就要相應改變。
對一組數窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個排列看作一個長整數，則所有排列對應著一組整數。將這組整數按從小到大的順序排列排成一個整數，從對應最小的整數開始。按數列的遞增順序逐一列舉每個排列對應的每個整數，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個排列找出對應數列的下一個排列可在當前排列的基礎上作部分調整來實現。倘若當前排列為1，2，4，6，5，3，並令其對應的長整數為124653。要尋找比長整數124653更大的排列，可從該排列的最後一個數字順序向前逐位考察，當發現排列中的某個數字比它前一個數字大時，如本例中的6比它的前一位數字4大，這說明還有對應更大整數的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列，不能立即調整得太大，如本例中將數字6與數字4交換得到的排列126453就不是排列124653的下一個排列。為了得到排列124653的下一個排列，應從已經考察過的那部分數字中選出比數字大，但又是它們中最小的那一個數字，比如數字5，與數字4交換。該數字也是從後向前考察過程中第一個比4大的數字。5與4交換後，得到排列125643。在前面數字1，2，5固定的情況下，還應選擇對應最小整數的那個排列，為此還需將後面那部分數字的排列順序顛倒，如將數字6，4，3的排列順序顛倒，得到排列1，2，5，3，4，6，這才是排列1，2，4，6，5，3的下一個排列。按以上想法編寫的程式如下。
【程式2】
# include 
# define SIDE_N 3
# define LENGTH 3
# define VARIABLES 6
int A,B,C,D,E,F;
int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};
int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};
int side_total[SIDE_N];
main{}
{ int i,j,t,equal;
for (j=0;j　　 *pt[j]=j+1;
while(1)
{ for (i=0;i　　 { for (t=j=0;j　　 t+=*side[i][j];
side_total[i]=t;
}
for (equal=1,i=0;equal&&i　　 if (side_total[i]!=side_total[i+1] equal=0;
if (equal)
{ for (i=1;i　　 printf(“%4d”,*pt[i]);
printf(“\n”);
scanf(“%*c”);
}
for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)
if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;
if (j==0) break;
for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)
if (*pt[i]>*pt[i-1]) break;
t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt[i]; *pt[i]=t;
for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++)
{ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt[i]; *pt[i]=t; }
}
}
從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個示例來加以說明。
【問題】 揹包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n個物品的重量和價值分別儲存於陣列w[ ]和v[ ]中，限制重量為tw。考慮一個n元組（x0，x1，…，xn-1），其中xi=0 表示第i個物品沒有選取，而xi=1則表示第i個物品被選取。顯然這個n元組等價於一個選擇方案。用列舉法解決揹包問題，需要列舉所有的選取方案，而根據上述方法，我們只要列舉所有的n元組，就可以得到問題的解。
顯然，每個分量取值為0或1的n元組的個數共為2n個。而每個n元組其實對應了一個長度為n的二進位制數，且這些二進位制數的取值範圍為0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分別轉化為相應的二進位制數，則可以得到我們所需要的2n個n元組。
【演算法】
maxv=0;
for (i=0;i<2n;i++)
{ B[0..n-1]=0;
把i轉化為二進位制數，儲存於陣列B中;
temp_w=0;
temp_v=0;
for (j=0;j　　 { if (B[j]==1)
{ temp_w=temp_w+w[j];
temp_v=temp_v+v[j];
}
if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv))
{ maxv=temp_v;
儲存該B陣列；
}
}
}

三、遞推法

遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關係求問題解的一種方法。設要求問題規模為N的解，當N=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能採用遞推法構造演算法的問題有重要的遞推性質，即當得到問題規模為i-1的解後，由問題的遞推性質，能從已求得的規模為1，2，…，i-1的一系列解，構造出問題規模為I的解。這樣，程式可從i=0或i=1出發，重複地，由已知至i-1規模的解，通過遞推，獲得規模為i的解，直至得到規模為N的解。
【問題】 階乘計算
問題描述：編寫程式，對給定的n（n≦100），計算並輸出k的階乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效數字。
由於要求的整數可能大大超出一般整數的位數，程式用一維陣列儲存長整數，儲存長整數陣列的每個元素只儲存長整數的一位數字。如有m位成整數N用陣列a[ ]儲存：
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
並用a[0]儲存長整數N的位數m，即a[0]=m。按上述約定，陣列的每個元素儲存k的階乘k！的一位數字，並從低位到高位依次存於陣列的第二個元素、第三個元素……。例如，5！=120，在陣列中的儲存形式為：
3 0 2 1 ……
首元素3表示長整數是一個3位數，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數120。
計算階乘k！可採用對已求得的階乘(k-1)！連續累加k-1次後求得。例如，已知4！=24，計算5！，可對原來的24累加4次24後得到120。細節見以下程式。
# include 
# include 
# define MAXN 1000
void pnext(int a[ ],int k)
{ int *b,m=a[0],i,j,r,carry;
b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));
for ( i=1;i<=m;i++) b[i]=a[i];
for ( j=1;j<=k;j++)
{ for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
{ r=(i　　 a[i]=r%10;
carry=r/10;
}
if (carry) a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}

void write(int *a,int k)
{ int i;
printf(“%4d！=”,k);
for (i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a[i]);
printf(“\n\n”);
}

void main()
{ int a[MAXN],n,k;
printf(“Enter the number n: “);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for (k=2;k<=n;k++)
{ pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}

四、遞迴

遞迴是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在複雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
能採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函式fib（n）。
斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當n>1時）。
寫成遞迴函式有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
遞迴演算法的執行過程分遞推和迴歸兩個階段。在遞推階段，把較複雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞迴的情況。例如在函式fib中，當n為1和0的情況。
在迴歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍複雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)後，返回得到fib(2)的結果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後，返回得到fib(n)的結果。
在編寫遞迴函式時要注意，函式中的區域性變數和引數知識侷限於當前呼叫層，當遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的引數和區域性變數便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的引數和區域性變數。
由於遞迴引起一系列的函式呼叫，並且可能會有一系列的重複計算，遞迴演算法的執行效率相對較低。當某個遞迴演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程式。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函式fib(n)應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞迴思想來考慮求組合函式的演算法。設函式為void comb(int m,int k)為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函式引入工作陣列a[ ]存放求出的組合的數字，約定函式將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函式將確定組合的第一個數字放入陣列後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞迴去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程式中的函式comb。
【程式】
# include 
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}

void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問題】 揹包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞迴尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於陣列option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存於陣列cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函式後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞迴去考慮其餘物品的選擇。
（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞迴演算法如下：
try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當前方案中；
if (i　　 try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案儲存;
恢復物品i不包含狀態；
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i　　 try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案儲存;
}
為了理解上述演算法，特舉以下例項。設有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1

並設限制重量為7。則按以上演算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查詢分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續查詢，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。

按上述演算法編寫函式和程式如下：
【程式】
# include 
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a[i].weight<=limitW)
{ cop[i]=1;
if (i　　 else
{ for (k=0;k　　 option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop[i]=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a[i].value>maxV)
if (i　　 else
{ for (k=0;k　　 option[k]=cop[k];
maxv=tv-a[i].value;
}
}

void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“輸入物品種數\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k　　 { scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k　　 find(0,0.0,totV);
for (k=0;k　　 if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);
}
作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞迴的程式解。為了提高找解速度，程式不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程式就去進一步考慮下一個物品。
【程式】
# include 
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int ;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv[i].=1;
twv[i].tw=tw;
twv[i].tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k　　 totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv[i].;
tw=twv[i].tw;
tv=twv[i].tv;
switch(f)
{ case 1: twv[i].++;
if (tw+a[i].weight<=limitW)
if (i　　 { next(i+1,tw+a[i].weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k　　 cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv[i].=0;
if (tv-a[i].value>maxv)
if (i　　 { next(i+1,tw,tv-a[i].value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a[i].value;
for (k=0;k　　 cop[k]=twv[k].!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}

void main()
{ double maxv;
printf(“輸入物品種數\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);
for (k=0;k　　 scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“\n選中的物品為\n”);
for (k=0;k　　 if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);
}

五、回溯法

回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關於問題規模大小的限制，並將問題的候選解按某種順序逐一列舉和檢驗。當發現當前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當前候選解除了還不滿足問題規模要求外，滿足所有其他要求時，繼續擴大當前候選解的規模，並繼續試探。如果當前候選解滿足包括問題規模在內的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當前候選解的規模，以繼續試探的過程稱為向前試探。

1、回溯法的一般描述

可用回溯法求解的問題P，通常要能表達為：對於已知的由n元組（x1，x2，…，xn）組成的一個狀態空間E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，給定關於n元組中的一個分量的一個約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個解。

解問題P的最樸素的方法就是列舉法，即對E中的所有n元組逐一地檢測其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個解。但顯然，其計算量是相當大的。

我們發現，對於許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，…，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，…，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對於約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測斷定某個j元組（x1，x2，…，xj）違反D中僅涉及x1，x2，…，xj的一個約束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）為字首的任何n元組（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不會是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測它們。回溯法正是針對這類問題，利用這類問題的上述性質而提出來的比列舉法效率更高的演算法。

回溯法首先將問題P的n元組的狀態空間E表示成一棵高為n的帶權有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似於檢索樹，它可以這樣構造： 

設Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。從根開始，讓T的第I層的每一個結點都有mi個兒子。這mi個兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照這種構造方式，E中的一個n元組（x1，x2，…，xn）對應於T中的一個葉子結點，T的根到這個葉子結點的路徑上依次的n條邊的權分別為x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，對於任意的0≤i≤n-1，E中n元組（x1，x2，…，xn）的一個字首I元組（x1，x2，…，xi）對應於T中的一個非葉子結點，T的根到這個非葉子結點的路徑上依次的I條邊的權分別為x1，x2，…，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個n元組的空字首（），對應於T的根。

因而，在E中尋找問題P的一個解等價於在T中搜索一個葉子結點，要求從T的根到該葉子結點的路徑上依次的n條邊相應帶的n個權x1，x2，…，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結點，很自然的一種方式是從根出發，按深度優先的策略逐步深入，即依次搜尋滿足約束條件的字首1元組（x1i）、字首2元組（x1，x2）、…，字首I元組（x1，x2，…，xi），…，直到i=n為止。

在回溯法中，上述引入的樹被稱為問題P的狀態空間樹；樹T上任意一個結點被稱為問題P的狀態結點；樹T上的任意一個葉子結點被稱為問題P的一個解狀態結點；樹T上滿足約束集D的全部約束的任意一個葉子結點被稱為問題P的一個回答狀態結點，它對應於問題P的一個解。

【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。
例如n=5，r=3的所有組合為： 
（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5
（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5
（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5
（10）3、4、5
則該問題的狀態空間為：
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}
約束集為： x1　　 顯然該約束集具有完備性。
問題的狀態空間樹T：

2、回溯法的方法

對於具有完備約束集D的一般問題P及其相應的狀態空間樹T，利用T的層次結構和D的完備性，在T中搜索問題P的所有解的回溯法可以形象地描述為：

從T的根出發，按深度優先的策略，系統地搜尋以其為根的子樹中可能包含著回答結點的所有狀態結點，而跳過對肯定不含回答結點的所有子樹的搜尋，以提高搜尋效率。具體地說，當搜尋按深度優先策略到達一個滿足D中所有有關約束的狀態結點時，即“啟用”該狀態結點，以便繼續往深層搜尋；否則跳過對以該狀態結點為根的子樹的搜尋，而一邊逐層地向該狀態結點的祖先結點回溯，一邊“殺死”其兒子結點已被搜尋遍的祖先結點，直到遇到其兒子結點未被搜尋遍的祖先結點，即轉向其未被搜尋的一個兒子結點繼續搜尋。

在搜尋過程中，只要所啟用的狀態結點又滿足終結條件，那麼它就是回答結點，應該把它輸出或儲存。由於在回溯法求解問題時，一般要求出問題的所有解，因此在得到回答結點後，同時也要進行回溯，以便得到問題的其他解，直至回溯到T的根且根的所有兒子結點均已被搜尋過為止。

例如在組合問題中，從T的根出發深度優先遍歷該樹。當遍歷到結點（1，2）時，雖然它滿足約束條件，但還不是回答結點，則應繼續深度遍歷；當遍歷到葉子結點（1，2，5）時，由於它已是一個回答結點，則儲存（或輸出）該結點，並回溯到其雙親結點，繼續深度遍歷；當遍歷到結點（1，5）時，由於它已是葉子結點，但不滿足約束條件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技術

在用回溯法求解有關問題的過程中，一般是一邊建樹，一邊遍歷該樹。在回溯法中我們一般採用非遞迴方法。下面，我們給出回溯法的非遞迴演算法的一般流程：

在用回溯法求解問題，也即在遍歷狀態空間樹的過程中，如果採用非遞迴方法，則我們一般要用到棧的資料結構。這時，不僅可以用棧來表示正在遍歷的樹的結點，而且可以很方便地表示建立孩子結點和回溯過程。
例如在組合問題中，我們用一個一維陣列Stack[ ]表示棧。開始棧空，則表示了樹的根結點。如果元素1進棧，則表示建立並遍歷（1）結點；這時如果元素2進棧，則表示建立並遍歷（1，2）結點；元素3再進棧，則表示建立並遍歷（1，2，3）結點。這時可以判斷它滿足所有約束條件，是問題的一個解，輸出（或儲存）。這時只要棧頂元素（3）出棧，即表示從結點（1，2，3）回溯到結點（1，2）。

【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數1，2，…，n中任取r個數的所有組合。
採用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存於a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，組合的元素滿足以下性質：
（1） a[i+1]>a[i]，後一個數字比前一個大；
（2） a[i]-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：

首先放棄組合數個數為r的條件，候選組合從只有一個數字1開始。因該候選解滿足除問題規模之外的全部條件，擴大其規模，並使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規模在內的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎上，選下一個候選解，因a[2]上的3調整為4，以及以後調整為5都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由於對5不能再作調整，就要從a[2]回溯到a[1]，這時，a[1]=2，可以調整為3，並向前試探，得到解1，3，4。重複上述向前試探和向後回溯，直至要從a[0]再回溯時，說明已經找完問題的全部解。按上述思想寫成程式如下：
【程式】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a[i]=1;
do {
if (a[i]-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j　　 printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a[i]++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}

main()
{ comb(5,3);
}
【問題】 填字遊戲
問題描述：在3×3個方格的方陣中要填入數字1到N（N≥10）內的某9個數字，每個方格填一個整數，似的所有相鄰兩個方格內的兩個整數之和為質數。試求出所有滿足這個要求的各種數字填法。

可用試探發找到問題的解，即從第一個方格開始，為當前方格尋找一個合理的整數填入，並在當前位置正確填入後，為下一方格尋找可填入的合理整數。如不能為當前方格找到一個合理的可填證書，就要回退到前一方格，調整前一方格的填入數。當第九個方格也填入合理的整數後，就找到了一個解，將該解輸出，並調整第九個的填入的整數，尋找下一個解。

為找到一個滿足要求的9個數的填法，從還未填一個數開始，按某種順序（如從小到大的順序）每次在當前位置填入一個整數，然後檢查當前填入的整數是否能滿足要求。在滿足要求的情況下，繼續用同樣的方法為下一方格填入整數。如果最近填入的整數不能滿足要求，就改變填入的整數。如對當前方格試盡所有可能的整數，都不能滿足要求，就得回退到前一方格，並調整前一方格填入的整數。如此重複執行擴充套件、檢查或調整、檢查，直到找到一個滿足問題要求的解，將解輸出。
回溯法找一個解的演算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok) 擴充套件;
else 調整;
ok=檢查前m個整數填放的合理性;
} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))
if (m!=0) 輸出解;
else 輸出無解報告；
}
如果程式要找全部解，則在將找到的解輸出後，應繼續調整最後位置上填放的整數，試圖去找下一個解。相應的演算法如下：
回溯法找全部解的演算法：
{ int m=0,ok=1;
int n=8;
do{
if (ok) 
{ if (m==n) 
{ 輸出解；
調整；
}
else 擴充套件;
}
else 調整;
ok=檢查前m個整數填放的合理性;
} while (m!=0);
}
為了確保程式能夠終止，調整時必須保證曾被放棄過的填數序列不會再次實驗，即要求按某種有許模型生成填數序列。給解的候選者設定一個被檢驗的順序，按這個順序逐一形成候選者並檢驗。從小到大或從大到小，都是可以採用的方法。如擴充套件時，先在新位置填入整數1，調整時，找當前候選解中下一個還未被使用過的整數。將上述擴充套件、調整、檢驗都編寫成程式，細節見以下找全部解的程式。
【程式】
# include 
# define N 12
void write(int a[ ])
{ int i,j;
for (i=0;i<3;i++)
{ for (j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
}
scanf(“%*c”);
}

int b[N+1];
int a[10];
int isprime(int m)
{ int i;
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};
if (m==1||m%2=0) return 0;
for (i=0;primes[i]>0;i++)
if (m==primes[i]) return 1;
for (i=3;i*i<=m;)
{ if (m%i==0) return 0;
i+=2;
}
return 1;
}

int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};
int selectnum(int start)
{ int j;
for (j=start;j<=N;j++)
if (b[j]) return j
return 0;
}

int check(int pos)
{ int i,j;
if (pos<0) return 0;
for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)
if (!isprime(a[pos]+a[j])
return 0;
return 1;
}

int extend(int pos)
{ a[++pos]=selectnum(1);
b[a][pos]]=0;
return pos;
}

int change(int pos)
{ int j;
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)
b[a[pos--]]=1;
if (pos<0) return –1
b[a[pos]]=1;
a[pos]=j;
b[j]=0;
return pos;
}

void find()
{ int ok=0,pos=0;
a[pos]=1;
b[a[pos]]=0;
do {
if (ok)
if (pos==8)
{ write(a);
pos=change(pos);
}
else pos=extend(pos);
else pos=change(pos);
ok=check(pos);
} while (pos>=0)
}

void main()
{ int i;
for (i=1;i<=N;i++)
b[i]=1;
find();
}
【問題】 n皇后問題
問題描述：求出在一個n×n的棋盤上，放置n個不能互相捕捉的國際象棋“皇后”的所有佈局。
這是來源於國際象棋的一個問題。皇后可以沿著縱橫和兩條斜線4個方向相互捕捉。如圖所示，一個皇后放在棋盤的第4行第3列位置上，則棋盤上凡打“×”的位置上的皇后就能與這個皇后相互捕捉。

1 2 3 4 5 6 7 8
× × 
× × × 
× × × 
× × Q × × × × ×
× × × 
× × × 
× × 
× × 
從圖中可以得到以下啟示：一個合適的解應是在每列、每行上只有一個皇后，且一條斜線上也只有一個皇后。
求解過程從空配置開始。在第1列至第m列為合理配置的基礎上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理時，就找到了一個解。接著改變第n列配置，希望獲得下一個解。另外，在任一列上，可能有n種配置。開始時配置在第1行，以後改變時，順次選擇第2行、第3行、…、直到第n行。當第n行配置也找不到一個合理的配置時，就要回溯，去改變前一列的配置。得到求解皇后問題的演算法如下：
{ 輸入棋盤大小值n；
m=0;
good=1;
do {
if (good)
if (m==n)
{ 輸出解；
改變之，形成下一個候選解;
}
else 擴充套件當前候選接至下一列；
else 改變之，形成下一個候選解；
good=檢查當前候選解的合理性；
} while (m!=0);
}
在編寫程式之前，先確定邊式棋盤的資料結構。比較直觀的方法是採用一個二維陣列，但仔細觀察就會發現，這種表示方法給調整候選解及檢查其合理性帶來困難。更好的方法乃是儘可能直接表示那些常用的資訊。對於本題來說，“常用資訊”並不是皇后的具體位置，而是“一個皇后是否已經在某行和某條斜線合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一個皇后，引入一個一維陣列（col[ ]），值col[i]表示在棋盤第i列、col[i]行有一個皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個皇后。另外，為了使程式在找完了全部解後回溯到最初位置，設定col[0]的初值為0當回溯到第0列時，說明程式已求得全部解，結束程式執行。

為使程式在檢查皇后配置的合理性方面簡易方便，引入以下三個工作陣列：
（1） 陣列a[ ]，a[k]表示第k行上還沒有皇后；
（2） 陣列b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜線上沒有皇后；
（3） 陣列 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜線上沒有皇后；

棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們的行號與列號之和相同；同一左高右低斜線上的方格，他們的行號與列號之差均相同。

初始時，所有行和斜線上均沒有皇后，從第1列的第1行配置第一個皇后開始，在第m列col[m]行放置了一個合理的皇后後，準備考察第m+1列時，在陣列a[ ]、b[ ]和c[ ]中為第m列，col[m]行的位置設定有皇后標誌；當從第m列回溯到第m-1列，並準備調整第m-1列的皇后配置時，清除在陣列a[ ]、b[ ]和c[ ]中設定的關於第m-1列，col[m-1]行有皇后的標誌。一個皇后在m列，col[m]行方格內配置是合理的，由陣列a[ ]、b[ ]和c[ ]對應位置的值都為1來確定。細節見以下程式：
【程式】
# include 
# include 
# define MAXN 20
int n,m,good;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()
{ int j;
char awn;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0;
do {
if (good)
if (m==n)
{ printf(“列\t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
else
{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;
col[++m]=1;
}
else
{ while (col[m]==n)
{ m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
} while (m!=0);
}
試探法找解演算法也常常被編寫成遞迴函式，下面兩程式中的函式queen_all()和函式queen_one()能分別用來解皇后問題的全部解和一個解。
【程式】
# include 
# include 
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void main()
{ int j;
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n);
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1;
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1;
queen_all(1,n);
}

void queen_all(int k,int n)
{ int i,j;
char awn;
for (i=1;i<=n;i++)
if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n)
{ printf(“列\t行”);
for (j=1;j<=n;j++)
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]);
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”);
scanf(“%c”,&awn);
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0);
}
queen_all(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i];
}
}
採用遞迴方法找一個解與找全部解稍有不同，在找一個解的演算法中，遞迴演算法要對當前候選解最終是否能成為解要有回答。當它成為最終解時，遞迴函式就不再遞迴試探，立即返回；若不能成為解，就得繼續試探。設函式queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當前候選解不能成為解。細節見以下函式。
【程式】
# define MAXN 20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
int queen_one(int k,int n)
{ int i,found;
i=found=0;
While (!found&&i　　 { i++;
if (a[i]&&b[k+i]&&c[n+k-i])
{ col[k]=i;
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=0;
if (k==n) return 1;
else
found=queen_one(k+1,n);
a[i]=b[k+i]=c[n+k-i]=1;
}
}
return found;
}