莫隊演算法——解決序列上詢問的利器
問題：
有一個長為N序列，有M個詢問：在區間[L,R]內，出現了多少個不同的數字。（序列中所有數字均小於K）。題目會給出K。
莫隊演算法就是滋磁解決這類問題的離線演算法。（其實很簡單）
首先來看看暴力：
由於暴力還是比較水的，所以直接上：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std ; const int maxn = 50010 ; int n, m, a[maxn] ; bool vis[maxn] ; int main() { int i, j, k, query_time, L, R ; cin >> n >> query_time >> k ; for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) cin >> a[i] ; while ( query_time -- ) { cin >> L >> R ; memset ( vis, 0, sizeof(vis) ) ; for ( i = L ; i <= R ; i ++ ) vis[a[i]] = true ; int ans = 0 ; for ( i = 0 ; i <= k ; i ++ ) ans += vis[i] ; cout << ans << endl ; } return 0 ; }
這個複雜度顯然是 O(N2) 的。有些題目的範圍可能到100000或者更大，那麼顯然就不能了。
這裡還有一種稍作改進的方法，比上述做法大多數情況要快些。
void add ( int pos ) { ++cnt[a[pos]] ; if ( cnt[a[pos]] == 1 ) ++ answer ; } void remove ( int pos ) { -- cnt[a[pos]] ; if ( cnt[a[pos]] == 0 ) -- answer ; } void solve() { int curL = 1, curR = 0 ; // current L R for ( each query [L,R] ) { while ( curL < L ) remove ( curL++ ) ; while ( curL > L ) add ( --curL ) ; while ( curR < R ) add ( ++curR ) ; while ( curR > R ) remove ( curR-- ) ; cout << answer << endl ; // Warning : please notice the order "--","++" and "cur" ; } }
其實還算好理解的，如果不明白，隨便搞組資料手玩一下就明白了
手玩資料：
6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6
輸出答案：
3
2
2不幸的是，雖然這個東西比我們的暴力要快，但是它的時間複雜度仍然是 O(N2)
的。
但好訊息是，這個東西可以算是莫隊演算法的核心了。（你在逗我笑？？？？）
其實是真的 :）
莫隊演算法是怎麼做的呢？
考慮到上述改進的辦法的效率低下主要是因為curL和curR兩個指標前前後後跑來跑去太多次。於是，我們的做法就是不要讓他們跑太多沒用的距離。
我們可以通過離線下所有的詢問，然後通過某種排序，讓兩個指標跑動的距離儘量變少。具體的做法是把N劃分成N
舉個例子：假設我們有3個長度為3的段（0-2,3-5,6-8）：
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {7, 8} {4, 8} {4, 4} {1, 2}
先根據所在段落的編號重排
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {1, 2} | {4, 8} {4, 4} | {7, 8}
現在按R的值重排
{1, 2} {0, 3} {1, 7} {2, 8} | {4, 4} {4, 8} | {7, 8}
然後？還要然後嗎？就用剛剛那個演算法來玩就好了。畢竟我們只是交換了一下詢問的順序而已，並沒有對演算法做什麼改動。
對於這個的複雜度嘛，其實是比較鬼畜的，就這麼改了下順序，然後就變成了O(N∗N−−√)的
上面程式碼所有查詢的複雜性是由4個while迴圈決定的。前2個while迴圈是curL的移動總量”，後2個while迴圈是curR的移動總量”。這兩者的和將是總複雜度。
有趣的是。先考慮右指標：對於每個塊，查詢是遞增的順序排序，所以右指標curR按照遞增的順序移動。在下一個塊的開始時，指標是儘量靠右的 ，將移動到下一個塊中的最小的R處。這意味著對於一個給定的塊，右指標移動的量是
O(N)。我們有O(N−−√)個塊。所以總共是O(N∗N−−√)。
關於左指標：所有查詢的左指標都在同一段中，當我們完成一個查詢到下一個查詢時，左指標會移動，但由於兩次詢問的L在同一塊中，此移動是
O(N−−√)的。所以，左指標的移動總量是O(M∗N−−√)。
所以，總複雜度就是O((N+M)∗N−−√)，就當做是O(N∗N−−√)吧。
是不是很簡單的吶2333
接下來給幾個例題：
例題1：BZOJ3781 小B的詢問
Description
小B有一個序列，包含N個1~K之間的整數。他一共有M個詢問，每個詢問給定一個區間[L..R]，求Sigma(c(i)^2)的值,其中i的值從1到K，其中c(i)表示數字i在[L..R]中的重複次數。小B請你幫助他回答詢問。
Input
第一行，三個整數N、M、K。
第二行，N個整數，表示小B的序列。
接下來的M行，每行兩個整數L、R。
Output
M行，每行一個整數，其中第i行的整數表示第i個詢問的答案。
Sample Input
6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6
Sample Output
6
9
5
2
HINT
對於全部的資料，1<=N、M、K<=50000
很裸的吧~
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std ;
const int zhf = 1<<30 ;
const int maxn = 50010, tim = 250 ;
bool Read ( int &x ) {
bool f = 0 ; x = 0 ; char c = getchar() ;
while ( !isdigit(c) ) {
if ( c == '-' ) f = 1 ;
if ( c == EOF ) return false ;
c = getchar() ;
}
while ( isdigit(c) ) {
x = 10 * x + c - '0' ;
c = getchar() ;
}
if ( f ) x = -x ;
return true ;
}
struct query {
int L, R, id ;
friend bool operator < ( query a, query b ) {
return (a.L/tim) == (b.L/tim) ? a.R < b.R : a.L < b.L ;
}
} e[maxn] ;
int n, m, a[maxn], cnt[maxn], ans[maxn], answer ;
void add ( int pos ) {
answer += (cnt[a[pos]]++)<<1|1 ;
}
void remove ( int pos ) {
answer -= (--cnt[a[pos]])<<1|1 ;
}
int main() {
int i, j, k, curL = 1, curR = 0 ;
Read(n) ; Read(m) ; Read(j) ;
for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ )
Read(a[i]) ;
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
Read(e[i].L) ;
Read(e[i].R) ;
e[i].id = i ;
}
sort ( e+1, e+m+1 ) ;
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
int L = e[i].L, R = e[i].R ;
while ( curL < L )
remove ( curL++ ) ;
while ( curL > L )
add ( --curL ) ;
while ( curR < R )
add ( ++curR ) ;
while ( curR > R )
remove ( curR-- ) ;
ans[e[i].id] = answer ;
}
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ )
printf ( "%d\n", ans[i] ) ;
return 0 ;
}例題2：SDOI2009 HH的項鍊 洛谷1972
Description
HH有一串由各種漂亮的貝殼組成的項鍊。HH相信不同的貝殼會帶來好運，所以每次散步 完後，他都會隨意取出一段貝殼，思考它們所表達的含義。HH不斷地收集新的貝殼，因此， 他的項鍊變得越來越長。有一天，他突然提出了一個問題：某一段貝殼中，包含了多少種不同 的貝殼？這個問題很難回答。。。因為項鍊實在是太長了。於是，他只好求助睿智的你，來解 決這個問題。
Input
第一行：一個整數N，表示項鍊的長度。 第二行：N個整數，表示依次表示項鍊中貝殼的編號（編號為0到1000000之間的整數）。 第三行：一個整數M，表示HH詢問的個數。 接下來M行：每行兩個整數，L和R（1 ≤ L ≤ R ≤ N），表示詢問的區間。
Output
M行，每行一個整數，依次表示詢問對應的答案。
Sample Input
6
1 2 3 4 3 5
3
1 2
3 5
2 6
Sample Output
2
2
4
HINT
對於20%的資料，N ≤ 100，M ≤ 1000；
對於40%的資料，N ≤ 3000，M ≤ 200000；
對於100%的資料，N ≤ 50000，M ≤ 200000。
還是很裸的2333
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
using namespace std ;
const int zhf = 1<<30 ;
const int maxn = 1000010 ;
bool Read ( int &x ) {
bool f = 0 ; x = 0 ; char c = getchar() ;
while ( !isdigit(c) ) {
if ( c == '-' ) f = 1 ;
if ( c == EOF ) return false ;
c = getchar() ;
}
while ( isdigit(c) ) {
x = 10 * x + c - '0' ;
c = getchar() ;
}
if ( f ) x = -x ;
return true ;
}
int n, m, cnt[maxn], a[maxn], answer, ans[maxn], tim ;
struct query {
int l, r, id ;
friend bool operator < ( query a, query b ) {
return (a.l/tim) == (b.l/tim) ? a.r < b.r : a.l<b.l ;
}
} e[maxn] ;
void add ( int pos ) {
if ( (++cnt[a[pos]]) == 1 ) ++ answer ;
}
void remove ( int pos ) {
if ( (--cnt[a[pos]]) == 0 ) -- answer ;
}
int main() {
int i, j, k, curL = 1, curR = 0 ;
Read(n) ;
for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ )
Read(a[i]) ;
Read(m) ; tim = sqrt(m) ;
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
Read(e[i].l) ;
Read(e[i].r) ;
e[i].id = i ;
}
sort(e+1,e+m+1) ;
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
int L = e[i].l, R = e[i].r ;
while ( curL < L )
remove(curL++) ;
while ( curL > L )
add(--curL) ;
while ( curR < R )
add(++curR) ;
while ( curR > R )
remove(curR--) ;
ans[e[i].id] = answer ;
}
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ )
printf ( "%d\n", ans[i] ) ;
return 0 ;
}例題3：2009國家集訓隊 小Z的襪子 清橙OJ1206
問題描述
作為一個生活散漫的人，小Z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終於有一天，小Z再也無法忍受這惱人的找襪子過程，於是他決定聽天由命……
具體來說，小Z把這N只襪子從1到N編號，然後從編號L到R(L 儘管小Z並不在意兩隻襪子是不是完整的一雙，甚至不在意兩隻襪子是否一左一右，他卻很在意襪子的顏色，畢竟穿兩隻不同色的襪子會很尷尬。
你的任務便是告訴小Z，他有多大的概率抽到兩隻顏色相同的襪子。當然，小Z希望這個概率儘量高，所以他可能會詢問多個(L,R)以方便自己選擇。
輸入格式
輸入檔案第一行包含兩個正整數N和M。N為襪子的數量，M為小Z所提的詢問的數量。
接下來一行包含N個正整數Ci，其中Ci表示第i只襪子的顏色，相同的顏色用相同的數字表示。
再接下來M行，每行兩個正整數L，R表示一個詢問。
輸出格式
輸出檔案包含M行，對於每個詢問在一行中輸出分數A/B表示從該詢問的區間[L,R]中隨機抽出兩隻襪子顏色相同的概率。若該概率為0則輸出0/1，否則輸出的A/B必須為最簡分數。（詳見樣例）
樣例輸入
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
樣例輸出
2/5
0/1
1/1
4/15
樣例說明
詢問1：共C(5,2)=10種可能，其中抽出兩個2有1種可能，抽出兩個3有3種可能，概率為(1+3)/10=4/10=2/5。
詢問2：共C(3,2)=3種可能，無法抽到顏色相同的襪子，概率為0/3=0/1。
詢問3：共C(3,2)=3種可能，均為抽出兩個3，概率為3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示組合數，組合數C(a, b)等價於在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。
資料規模和約定
30%的資料中 N,M ≤ 5000；
60%的資料中 N,M ≤ 25000；
100%的資料中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。
這道題倒是有些需要想想。
但是有一個神奇的事情：C(N,M)=N!M!∗(N−M)!
那麼C(N,2)呢？
這不就是一個∑N−1i=1i嘛？
（有沒有感覺自己被續了一秒）
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#define ll long long
using namespace std ;
const ll zhf = 1<<30 ;
const ll maxn = 50010 ;
bool Read ( ll &x ) {
bool f = 0 ; x = 0 ; char c = getchar() ;
while ( !isdigit(c) ) {
if ( c == '-' ) f = 1 ;
if ( c == EOF ) return false ;
c = getchar() ;
}
while ( isdigit(c) ) {
x = 10 * x + c - '0' ;
c = getchar() ;
}
if ( f ) x = -x ;
return true ;
}
ll tim ;
struct query {
ll L, R, id ;
friend bool operator < ( query a, query b ) {
return (a.L/tim) == (b.L/tim) ? a.R < b.R : a.L < b.L ;
}
} e[maxn] ;
ll gcd ( ll x, ll y ) {
return y ? gcd ( y, x%y ) : x ;
}
struct Answer {
ll x, y ;
void out() {
if ( !x ) puts("0/1") ;
else {
ll d = gcd(x, y) ;
x /= d ; y /= d ;
printf ( "%lld/%lld\n", x, y ) ;
}
}
} ans[maxn] ;
ll n, m, a[maxn], cnt[maxn], answer ;
void add ( ll pos ) {
++ cnt[a[pos]] ;
if ( cnt[a[pos]] > 1 )
answer += cnt[a[pos]] - 1 ;
}
void remove ( ll pos ) {
-- cnt[a[pos]] ;
if ( cnt[a[pos]] > 0 ) answer -= cnt[a[pos]] ;
}
ll sum ( ll x ) { return x*(x+1)/2 ; }
int main() {
ll i, j, k, curL = 1, curR = 0 ;
Read(n) ; Read(m) ;
tim = sqrt(m) ;
for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ )
Read(a[i]) ;
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
Read(e[i].L) ; Read(e[i].R) ;
e[i].id = i ;
}
sort ( e+1, e+m+1 ) ;
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
ll L = e[i].L, R = e[i].R ;
while ( curL < L )
remove ( curL++ ) ;
while ( curL > L )
add ( --curL ) ;
while ( curR < R )
add ( ++curR ) ;
while ( curR > R )
remove ( curR-- ) ;
ans[e[i].id] = (Answer){answer,sum(R-L)} ;
}
for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ )
ans[i].out() ;
return 0 ;
}其實莫隊還可以套上樹狀陣列或者在一棵樹上搞的，但是這篇文章就簡單先介紹下啦~
要是俺有空就出莫隊的續集，嘿嘿