1.錯排公式

來源：當n個編號元素放在n個編號位置，元素編號與位置編號各不對應的方法數D(n)

推導：

第一步，把第n個元素放在一個位置，比如位置k，一共有n-1種方法；

第二步，放編號為k的元素，這時有兩種情況：

（1）把它放到位置n，那麼，剩下n-2個元素（第n個和第k個已經放好啦），就有D(n-2)種方法

（2）不把它放到位置n，這時，對於這n-1個元素（只有第n個是放好的），有D(n-1)種方法；

綜上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

應用例題：HDU-2048 神、上帝以及老天爺

2.組合公式

來源：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。

公式：

性質：

程式碼：

long long int C(int n,int m)
{  
    long long x=1;  
    for(int i=1;i<=m;i++)  
        x=x*(n-i+1)/i;  
    return x;  
}  

3.GCD公式

公式：

應用例題：HDU-2685 I won’t tell you this is about number theory

關於這道題多寫一段快速冪

int quickpow(int a,int b){
  int r=1,base=a;
  while(b){
    if(b&1) r*=base; //這裡b&1表示取b二進位制的最末位
    base*=base;
    b>>=1; //這裡>>=表示去掉b的二進位制最後一個位並賦值給b
  }
  return r;
}
 

4.素數篩選

原理：從2~n，找到一個數（顯然它是一個素數），就刪去它的倍數

注意：僅僅需要i*i<=n即可（對於任何一個小於n的x，如果n不是x的倍數，那麼n肯定也不是n/x的倍數）

int prime[500000];
void choseprime(int n)
{
    prime[1]=prime[2]=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(prime[i]==0)
            for(int j=2*j;j<=n;j+=i)
                prime[j]=1;
}

5.尤拉函式

定義：小於n的正整數中與n互質的的數的數目

性質：

1.積性函式：若m、n互質，

2.若n是質數p的k次冪，

思路：

設一個數  ，那麼A的尤拉函式：

整理這個公式，得到如下公式：

做法：令temp=A，然後每找到一個A的質因子就從temp中除掉一個此因子然後再乘上（該因子-1）

long long int phi(long long int a)
{
    long long int temp = a;
    for(long long int i=2; i*i<=a; i++)
        if(a%i==0)
        {
            while(!(a%i))
                a/=i;
            temp=temp/i*(i-1);
        }
    if(a!=1)
        temp=temp/a*(a-1);
    return temp;
}