多目標進化算法系列

NSGA-II由Kalyanmoy Deb等人於2002年在文章"A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA-II"中提出，是對1994年提出的NSGA的改進，相比於NSGA，NSGA2的改進主要兩點：

1. 提出一種快速非支配排序，使得Pareto支配排序的時間複雜度由$O(N^3)$優化到$O(N^2)$；
2. 提出一種擁擠距離來衡量解的分佈性，並基於此選擇種群中的合適的個體

NSGA-II的提出，為多目標進化演算法的一大進步，特別是其基於Pareto支配關係的框架被後來許多演算法採用，如NSGA-III，VaEA等。同時，NSGA-II對於低維多目標優化問題效果是不錯的，但是對於高維多目標優化問題，其首先面對的便是由於其基於Pareto支配關係所導致的選擇壓力過小的問題，其次，便是擁擠距離在高維空間不適用，計算複雜度也比較高。

MOEA/D由張青富老師等人於2007年在文章"MOEA/D: A Multiobjective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition"中提出。MOEA/D將一個多目標優化問題轉換為多個標量子問題，且每一個子問題由一個均勻分佈的權重向量構成，對於每生成一個新解，則基於聚合函式對該子問題附近的解進行替換。MOEA/D的優時如下：

1. 收斂更快，計算複雜度低；
2. 對於比較簡單的PF，由於指導進化的權重向量是均勻分佈的，因此MOEA/D所得到的解分佈比較均勻

MOEA/D的提出為多目標進化演算法提供了一種新的解決方案，基於MOEA/D的演算法隨後遍地開花，MOEA/DD，MOEA/D-STM，MOEA/D-SAS等。標準的MOEA/D對於低維簡單PF的多目標優化問題效果是很好的，但對於複雜PF的問題，其分佈性將會大打折扣，同時，對於高維多目標優化問題，其分佈性也不能得到保證，效果也比較差。

下面比較兩種演算法的優劣：

1. 從低維多目標優化問題(2-,3-目標)看：
   低維情況也要分兩種情況考慮，一種是簡單的PF的MOP，一種是複雜PF的MOP。
   首先來看簡單的PF的情況。以2維的DTLZ1為例，下面兩張圖分別是NSGA-II和MOEA/D得到的2維DTLZ1的散點圖。

很顯然，對於2維DTLZ1，MOEA/D無論在均勻度上面，還是收斂性上面都優於NSGA-II。
下面再看複雜PF的情況，在此以有long tail 和 sharp peak的PF的F1為例，下面兩張圖就是NSGA-II和MOEA/D得到的近似解的散點圖。

不難看出，對於F1來說，NSGA-II的效果是優於MOEA/D的，這主要是因為MOEA/D基於均勻分佈的權重向量來指導進化的進行，但對於這類複雜PF的MOP，單位超平面上分佈均勻的權重向量並不能保證解的均勻分佈性。
3. 從高維看
NSGA-II 首先存在選擇壓力過小的問題 再就是擁擠距離的計算及其複雜
MOEA/D 在高維情況下分佈性也不是很好

但總的來看，不管低維還是高維，MOEA/D比NSGA-II的速度快很多。

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