一、kmeans聚類演算法介紹：

　　 kmeans演算法是一種經典的無監督機器學習演算法，名列資料探勘十大演算法之一。作為一個非常好用的聚類演算法，kmeans的思想和實現都比較簡單。kmeans的主要思想：把資料劃分到各個區域(簇)，使得資料與區域中心的距離之和最小。換個角度來說，kmeans演算法把資料量化為聚類中心，其目標函式就是使量化過程中損失的“資訊”最少。kmeans演算法求解目標函式的過程也可以看做是EM(Expectation maximization)迭代優化。

二、kmeans目標函式及優化：

定義：資料集XN×D，聚類中心UK×D，指示矩陣rN×K。
其中rnk

=1如果第n個樣本屬於第k個聚類，否則rnk=0。kmeans 聚類演算法的目標是讓資料與相應的聚類中心的距離之和最小：

P=∑n=1N∑k=1Krnk∥xn−uk∥2
　　迭代優化：未知變數是兩個矩陣–聚類中心UK×D和指示矩陣rN×K，直接進行優化太困難（NP問題），所以需要迭代優化這兩個變數來得到一個區域性最優解。
1、固定聚類中心UK×D，優化指示矩陣rN×K：如果第n個樣本距離第k個聚類最近，則賦值rnk=1，否則賦值rnk=0。
2、固定指示矩陣rN×K，優化聚類中心UK×D：拆分目標函式，分開優化每一個聚類中心（聚類中心之間沒有耦合關係），推導如下
P=∑k=1K∑n=1N

rnk∥xn−uk∥2min∑n=1Nrnk∥xn−uk∥2,k=1,...,K平方誤差函數，直接求導：2∑n=1Nrnk(xn−uk)=0uk=(∑n=1Nrnkxn)/(∑n=1Nrnk),即率屬於第k個聚類的數據均值
　　從EM角度來看：把指示矩陣rN×K當做隱變數，聚類中心UK×D當做模型引數，更新rN×K 和UK×D就分別對應於EM演算法的E步和M步。

三、判停標準：

kmeans演算法的迭代優化過程一直持續直到滿足某個判停標準，如果在這一輪迭代中：

1、訓練樣本所屬類別不再發生改變或者只有很少幾個訓練樣本改變；
2、目標函式變化很小或者聚類中心向量變化很小；
3、達到最大迭代次數。

滿足其中一個條件，即可停止訓練。如果滿足條件1或2，說明演算法已經收斂。

四、K值的選取：

　　隨著聚類數K的增大，目標函式呈減小趨勢。但是另一方面K值的增大會導致儲存空間和計算量的增加。那麼如何選擇合適的K值呢？
1.經驗法：根據問題的性質和先驗知識，人為指定聚類的數目。
2.爬山法：但當聚類數目到達一定值以後，聚類數目的增加目標函式的變化很小，這個拐點可以認為是最優聚類數目。

五、matlab計算資料與聚類中心之間的距離

　　matlab誕生的初衷就是為了矩陣運算的方便，所以如果用for迴圈來計算資料與聚類中心的距離從而得到指示矩陣rN×K這種速度極慢的方法是不可取的。對歐氏距離函式做個小小的變換：

∥xn−uk∥2=(xn−uk)⋅(xn−uk)⊤,n=1,.

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