堆排序演算法總結
演算法原理
先上一張堆排序動畫演示圖片：
圖片來自維基百科
1. 不得不說說二叉樹
要了解堆首先得了解一下二叉樹，在電腦科學中，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查詢樹和二叉堆。
二叉樹的每個結點至多隻有二棵子樹（不存在度大於 2 的結點），二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。二叉樹的第 i 層至多有 2i - 1 個結點；深度為 k 的二叉樹至多有 2k - 1 個結點；對任何一棵二叉樹 T，如果其終端結點數為 n0，度為 2 的結點數為 n2，則n0 = n2
樹和二叉樹的三個主要差別：
- 樹的結點個數至少為 1，而二叉樹的結點個數可以為 0
- 樹中結點的最大度數沒有限制，而二叉樹結點的最大度數為 2
- 樹的結點無左、右之分，而二叉樹的結點有左、右之分
二叉樹又分為完全二叉樹（complete binary tree）和滿二叉樹（full binary tree）
滿二叉樹：一棵深度為 k，且有 2k - 1 個節點稱之為滿二叉樹
深度為
3 的滿二叉樹 full binary tree
完全二叉樹：深度為 k，有 n 個節點的二叉樹，當且僅當其每一個節點都與深度為 k 的滿二叉樹中序號為 1 至 n 的節點對應時，稱之為完全二叉樹
深度為
3 的完全二叉樹 complete binary tree
2. 什麼是堆？
堆（二叉堆）可以視為一棵完全的二叉樹，完全二叉樹的一個“優秀”的性質是，除了最底層之外，每一層都是滿的，這使得堆可以利用陣列來表示（普通的一般的二叉樹通常用連結串列作為基本容器表示），每一個結點對應陣列中的一個元素。
如下圖，是一個堆和陣列的相互關係
堆和陣列的相互關係
對於給定的某個結點的下標 i，可以很容易的計算出這個結點的父結點、孩子結點的下標：
- Parent(i) = floor(i/2)，i 的父節點下標
- Left(i) = 2i，i 的左子節點下標
- Right(i) = 2i + 1，i 的右子節點下標
二叉堆一般分為兩種：最大堆和最小堆。
最大堆：
- 最大堆中的最大元素值出現在根結點（堆頂）
- 堆中每個父節點的元素值都大於等於其孩子結點（如果存在）
最大堆
最小堆：
- 最小堆中的最小元素值出現在根結點（堆頂）
- 堆中每個父節點的元素值都小於等於其孩子結點（如果存在）
最小堆
3. 堆排序原理
堆排序就是把最大堆堆頂的最大數取出，將剩餘的堆繼續調整為最大堆，再次將堆頂的最大數取出，這個過程持續到剩餘數只有一個時結束。在堆中定義以下幾種操作：
- 最大堆調整（Max-Heapify）：將堆的末端子節點作調整，使得子節點永遠小於父節點
- 建立最大堆（Build-Max-Heap）：將堆所有資料重新排序，使其成為最大堆
- 堆排序（Heap-Sort）：移除位在第一個資料的根節點，並做最大堆調整的遞迴運算
繼續進行下面的討論前，需要注意的一個問題是：陣列都是 Zero-Based，這就意味著我們的堆資料結構模型要發生改變
Zero-Based
相應的，幾個計算公式也要作出相應調整：
- Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父節點下標
- Left(i) = 2i + 1，i 的左子節點下標
- Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子節點下標
最大堆調整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性質，是建立最大堆的核心子程式，作用過程如圖所示：
Max-Heapify
由於一次調整後，堆仍然違反堆性質，所以需要遞迴的測試，使得整個堆都滿足堆性質，用 JavaScript 可以表示如下：
| 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334 | /** * 從 index 開始檢查並保持最大堆性質 * * @array * * @index 檢查的起始下標 * * @heapSize 堆大小 * **/function maxHeapify(array, index, heapSize) { var iMax = index, iLeft = 2 * index + 1, iRight = 2 * (index + 1); if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) { iMax = iLeft; } if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) { iMax = iRight; } if (iMax != index) { swap(array, iMax, index); maxHeapify(array, iMax, heapSize); // 遞迴調整 }}function swap(array, i, j) { var temp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = temp;} |
通常來說，遞迴主要用在分治法中，而這裡並不需要分治。而且遞迴呼叫需要壓棧/清棧，和迭代相比，效能上有略微的劣勢。當然，按照20/80法則，這是可以忽略的。但是如果你覺得用遞迴會讓自己心裡過不去的話，也可以用迭代，比如下面這樣：
| 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738 | /** * 從 index 開始檢查並保持最大堆性質 * * @array * * @index 檢查的起始下標 * * @heapSize 堆大小 * **/function maxHeapify(array, index, heapSize) { var iMax, iLeft, iRight; while (true) { iMax = index; iLeft = 2 * index + 1; iRight = 2 * (index + 1); if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) { iMax = iLeft; } if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) { iMax = iRight; } if (iMax != index) { swap(array, iMax, index); index = iMax; } else { break; } }}function swap(array, i, j) { var temp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = temp;} |
建立最大堆（Build-Max-Heap）的作用是將一個數組改造成一個最大堆，接受陣列和堆大小兩個引數，Build-Max-Heap 將自下而上的呼叫 Max-Heapify 來改造陣列，建立最大堆。因為 Max-Heapify 能夠保證下標 i 的結點之後結點都滿足最大堆的性質，所以自下而上的呼叫 Max-Heapify 能夠在改造過程中保持這一性質。如果最大堆的數量元素是 n，那麼 Build-Max-Heap 從 Parent(n) 開始，往上依次呼叫 Max-Heapify。流程如下：
Build-Max-Heap
用 JavaScript 描述如下：
| 12345678 | function buildMaxHeap(array, heapSize) { var i, iParent = Math.floor((heapSize - 1) / 2); for (i = iParent; i >= 0; i--) { maxHeapify(array, i, heapSize); }} |
堆排序（Heap-Sort）是堆排序的介面演算法，Heap-Sort先呼叫Build-Max-Heap將陣列改造為最大堆，然後將堆頂和堆底元素交換，之後將底部上升，最後重新呼叫Max-Heapify保持最大堆性質。由於堆頂元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之後，堆中存在的最大元素被分離出堆，重複n-1次之後，陣列排列完畢。整個流程如下：
Heap-Sort
用 JavaScript 描述如下：
| 123456789 | function heapSort(array, heapSize) { buildMaxHeap(array, heapSize); for (int i = heapSize - 1; i > 0; i--) { swap(array, 0, i); maxHeapify(array, 0, i); } } |
JavaScript 語言實現
最後，把上面的整理為完整的 javascript 程式碼如下：
| 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455 | function heapSort(array) { function swap(array, i, j) { var temp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = temp; } function maxHeapify(array, index, heapSize) { var iMax, iLeft, iRight; while (true) { iMax = index; iLeft = 2 * index + 1; iRight = 2 * (index + 1); if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) { iMax = iLeft; } if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) { iMax = iRight; } if (iMax != index) { swap(array, iMax, index); index = iMax; } else { break; } } } function buildMaxHeap(array) { var i, iParent = Math.floor(array.length / 2) - 1; for (i = iParent; i >= 0; i--) { maxHeapify(array, i, array.length); } } function sort(array) { buildMaxHeap(array); for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) { swap(array, 0, i); maxHeapify(array, 0, i); } return array; } return sort(array);} |