（Math）矩陣求導

前言

本文為維基百科上矩陣微積分部分的翻譯內容。本文為原文的翻譯與個人總結，非一一對照翻譯。由於水平不足理解不夠處，敬請原諒與指出。原文地址https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus。原文為矩陣微積分，本文題為矩陣求導，原因是原文主要介紹的是矩陣微分的內容。

1 簡介

矩陣的微積分本質上是多元變數的微積分的問題，只是應用在矩陣空間上而已。

在討論矩陣微分的時候，有兩種佈局方式，分子佈局，與分母佈局，第2,3部分不關注這個問題，第5部分以後介紹兩種佈局方式。

以下為六種以矩陣形式組織的常見的導數。

型別	標量y	向量y	矩陣Y
標量x	∂y∂x	∂y∂x	∂Y∂x
向量x	∂y∂x	∂y∂x
矩陣X	∂y∂X

其他三種方式並不常用，且符號也沒有統一的認識。

2 符號

矩陣
M(n,m)表示n行m列的實矩陣，一般使用加粗大寫字母表示，如A,X,Y等。
向量
M(n,1)為列向量，一般用小寫加粗表示，如a,x,y等。
標量
M(1,1)為標量，一般用小寫斜體表示，如a,x,y等。
其他
XT為轉置，tr(X)為跡，det(X)為行列式。字母表前半(a,b,c,⋯)為常量，後半(t,x,y,⋯)為變量

3 關於向量的導數

以分子佈局來介紹，僅出於說明目的，不代表分子佈局優於分母佈局。

3.1 向量關於標量求導

向量y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢y1y2⋮ym⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥關於標量x求導可以表示為∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y1∂x∂y2∂x⋮∂ym∂x⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
此時為正切向量。∂y∂x為y的正切向量。注意，有對映y:Rm→Rm

3.2 標量關於向量求導

標量y關於向量x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥求導可以表示為∂y∂x=[∂y∂x1∂y∂x2⋯∂y∂xn]
此時為梯度向量。∂y∂x為標量

前言本文為維基百科上矩陣微積分部分的翻譯內容。本文為原文的翻譯與個人總結，非一一對照翻譯。由於水平不足理解不夠處，敬請原諒與指出。原文地址https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus。原文為矩陣微積分，

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