首先你在學擴充套件BSGS前需要先了解BSGS。如果你還不瞭解BSGS或者對BSGS有什麼疑問，可以看看我的BSGS講解，我覺得基本是全網最詳細的了。
我們知道，BSGS可以解決求ax=b(modp)$a^x=b(modp)$的最小非負整數x$x$，它的應用條件是要求底數a$a$與模數p$p$互質的，那麼如果不互質應該怎麼辦呢？這時候就要用到擴充套件BSGS了。
擴充套件BSGS是在BSGS的基礎上進行一些改進。既然互質的我們會做了，我們就考慮把不互質的轉化為互質的。
我們設d=gcd(a,p)$d=gcd(a,p)$，如果d$d$不能整除b$b$，那麼只有b=1$b=1$時有解，即x=0$x=0$，否則就無解。
首先先說明一個定理：
當

c|a且c|b且c|p$c|a且c|b且c|p$時

a=b(modp)$$a=b(modp)$$那麼ac=bc(modpc)$$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(mod\frac{p}{c})$$
好，接下來開始我們的推導。
如果d|b$d|b$且d≠1$d\ne 1$，那麼ax=b(modp)$$a^x=b(modp)$$ ax−1∗a=b(modp)$$a^{x-1}\ast a=b(modp)$$ ax−1∗ad=bd(modpd)$$a^{x-1}\ast \frac{a}{d}=\frac{b}{d}(mod\frac{p}{d})$$ 如果此時的a$a$與pd$\frac{p}{d}$仍然不互質，那麼我們就繼續分解，直到a$a$與p∏ki=1di$\frac{p}{\prod _{i=1}^k{d}_i}$互質。
此時ax−k∗ak∏ki=1di=b∏ki=1di(modp∏ki=1di)$$a^{x-k}\ast \frac{a^k}{\prod _{i=1}^k{d}_i}=\frac{b}{\prod _{i=}^{}}$$

1kdi(modp∏i=1kdi)
對於已經求到的任何一個k$k$，如果∏kidi$\prod _i^k{d}_i$不能整除b$b$，那麼唯一可能的解就是x=0$x=0$，所以如果我們在開頭先特判了x=0$x=0$的情況，在這裡只要遇到不能整除的情況就是無解。
對於(∏ki=1di)|b$(\prod _{i=1}^k{d}_i)|b$，我們首先列舉

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