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數值分析 第七章 常微分方程的數值解法

阿新 • • 發佈：2019-02-11

1 數值解法相關公式

1.1 為什麼要研究數值解法？

所謂數值解法,就是設法將常微分方程離散化,建立差分方程,給出解在一些離散點上的近似值.

1.2 問題 7.1 一階常微分方程初值問題的一般形式

{y′=f(x,y),a⩽x⩽by(a)=α
其中f(x,y)是已知函式,α為給定的初值.
若函式f(x,y)在區域
{a⩽x⩽b,−∞<y<+∞}上連續且關於y滿足Lipschitz條件|f(x,y)−f(x,y¯)|⩽L|y−y¯|,∀y,y¯
其中L>0為Lipschitz常數，則初值問題（7.1）有唯一解。

1.3 構造數值解法的基本思想

假設初值問題(7.1)的解y

=y(x)唯一存在且足夠光滑.對求解區域[a,b]做剖分

a=x0<x1<x2<...<xn<...<xN=b其中剖分點xn=a+nh,n=0,1,...,N,h稱為剖分步長，數值解法就是求精確解y(x)在剖分節點xn上的近似值yn≈y(xn),n=1,2,...,N.
我們採用數值積分方法來建立差分公式.
在區間[xn,xn+1]上對方程(7.1)做積分，則有
y(xn+1)−y(xn)=∫xn+1xnf(x,y(x))dx
對右側分別應用左矩形公式、梯形公式和中矩形公式，可分別得到Euler公式、梯形差分公式和Euler中點公式。

1.4 Euler
公式

{yn+1=yn+hf(xn,yn)y0=α,n=0,1,2,...,N−1

1.5 梯形差分公式

⎧⎩⎨yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]y0=α,n=0,1,2,...,N−1

1.6 Euler中點公式(雙步Euler公式)

{

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