此為應用數學第5次課。

常微分方程數值方法

差分法、有限元法、譜方法等。這裡只介紹顯式尤拉法。

尤拉法及其變種

問題描述：在$x \in [a,b]$求解$y$，滿足 $y'= f(x,y), y(x_0)=y_0$

將$[a,b]$等分成$N$份，每份長度為$h$，$x_0=a, x_i=a+ih$。令$y(x_i)$為$x_i$處的真實值，$y_i$為擬合值。

前向尤拉法

由泰勒展開，有 $y^{\mathrm{\prime }}(x_i$

近似得到， $y'(x_i) \approx \frac{y(x_i+h)-y(x_i)}{h}$

因為$y'(x_i) = f(x_i, y(x_i))$

從而得到前向尤拉法， $y_{i+1} = y_i + h f(x_i, y_i)$

後向尤拉法

類似的，有 $y'(x_{i+1}) \approx \frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h}$

由於$y'(x_{i+1}) = f(x_{i+1}, y_{i+1})$，得到 $y_{i+1} = y_i + h f(x_{i+1}, y_{i+1})$

但由於$y_{i+1}$不預先知道，所以需要方程解出$y_{i+1}$，為隱式尤拉法了。可以使用預估校正法來利用後向尤拉的思想。

預估校正法

先用前向尤拉法得到對$y_{i+1}$的估計$\bar{y}_{i+1}$，即 $\bar{y}_{i+1} = y_i + h f(x_i, y_i)$

再用後向尤拉法進行校正 $y_{i+1} = y_i + h f(x_{i+1}, \bar{y}_{i+1})$

梯形法

綜合一下前向尤拉和後向尤拉，可以得到一個平均主義的變種： $y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2} [ f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_{i+1}) ]$

當然這仍然是一種隱式尤拉法。

在預估校正法中也可以採用類似的思想，有 $y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2} [ f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, \bar{y}_{i+1}) ]$

2階龍格庫塔

2階龍格庫塔如下： $\begin{aligned} y_{i+1} &= y_i + h[\frac{1}{2} k_1 + \frac{1}{2} k_2] \\ k_1 &= f(x_i, y_i) \\ k_2 &= f(x_i, y_i + h k_1) \end{aligned}$

可以看到，2階龍格庫塔和預估校正的梯形法非常類似，它們都使用了$\bar{y}_{i+1}$處的梯度作為