求：3^0 + 3^1 +...+ 3^(N) mod 1000000007

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輸入一個數N(0 <= N <= 10^9)
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輸出：計算結果
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3

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40

要用到的知識：

**逆元：
若對於數字A,C 存在X，使A * X = 1 (mod C) ,那麼稱X為 A 對C的乘法逆元。
理論依據:
F / A mod C = ?
如果存在 A*X = 1 (mod C)
那麼2邊同時乘起來,得到 F * X = ? (mod C)**

成立條件

(1) 模方程 A * X = 1(mod C) 存在解

(2) A | F (F % A == 0)

若ax=1 mod f 則稱a關於模f的乘法逆元為x。也可表示為ax≡1(mod f)。

　　當a與f互素時，a關於模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，則無解。如果f為素數，則從1到f-1的任意數都與f互素，即在1到f-1之間都恰好有一個關於模f的乘法逆元
a*b

快速乘法的基本思想 ，是二進位制和乘法分配律的結合，（不由得想起浮點數不滿足結合律，嚴重吐槽！！！╮(╯-╰)╭），比如說，13 ==（1101）2 ，4*13等於4*（1101）2 ，用分配律展開得到4*13 == 4*（1000+100+1）2，我們不難觀察出，快速冪可以通過判斷當前的位（bit）是1還是0，推斷出是否需要做求和操作，每次移動到下一位（bit）時，就對ans進行*2操作，等待是否求和。由於除以2和位移操作是等效的，因此這也可以看作是二分思想的應用，這種演算法將b進行二分從而減少了不必要的運算，時間複雜度是log（n）。

a^b

快速冪其實可以看作是快速乘法的特例，在快速冪中，我們不再對ans進行2操作，因為在a^b中b的意義已經從乘數變成了指數，但是我們可以仍然把b寫成二進位制，舉例說明：此時，我們將4*13改為4^13，13=（1101）2 ，二進位制13寫開我們得到（1000+100+1），注意，這裡的所有二進位制是指數，指數的相加意味著底數相乘，因此有4^13 == 48 * 44 * 41。再注意到指數之間的2倍關係，我們就可以用很少的幾個變數，完成這一演算法。這樣，我們就將原本用迴圈需要O(n)的演算法，改進為O（logN）的演算法。*

按照慣例，給出儘可能簡潔高效的程式碼實現 （以下所有int都可用long long 代替）

首先，給出快速乘法的實現：

1 //快速乘法 
2 int qmul(int a,int b){// 根據資料範圍可選擇long long 
3     int ans=0;
4     while(b){
5         if( b&1)ans+=a;//按位與完成位數為1的判斷
6         b>>=1;a<<=1;//位運算代替/2和*2
7     }
8     return ans;
9 }

如果涉及到快速乘法取模，則需要進行一些微小改動

1 //快速乘法取模 
2 int qmul_mod(int a,int b,int mod){
3     int ans=0;
4     while(b){
5         if((b%=mod)&1)ans+=a%=mod;//這裡需要b%=mod 以及a%=mod 
6         b>>=1;a<<=1;
7     }
8     return ans%mod;  //ans也需要對mod取模 
9 }

接下來是快速冪的實現：

1 //快速冪 a^b 
 2 int qpow(int a,int b){
 3     if(a==0)return 0;//這是個坑，校賽被坑過，很多網上的實現都沒寫這一點
 4     int ans=1;
 5     while(b){
 6         if(b&1)ans*=a;//和快速乘法的區別
 7         b>>=1;a*=a;//區別，同上
 8     }
 9     return ans;
10 } 

以及含有取模的快速冪：

int qpow_mod(int a,int b,int mod){
    if(a==0)return 0;
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans%mod)*(a%mod);//如果確定資料不會爆的話，可寫成 ans*=a%=mod;
        b>>=1;a*=a%=mod;//等價於a=(a%mod)*(a%mod)，且將一個模運算通過賦值代替，提高了效率
    }
    return ans%mod;//資料不會爆的話，這裡的%運算會等價於第5中不斷重複的 ans%mod
}

如果我們對於效能還有更進一步的要求，那麼也就是減少取模運算了，那麼我們需要確定資料範圍不會爆掉

在這樣的前提下，我們可以只用原先1/4的取模運算量完成快速冪

int qpow_mod(int a,int b,int mod){
    if(!a)return 0;
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans*=a%=mod;//這裡的模運算只有一個
        b>>=1;a*=a;//這裡的模運算沒有了
    }
    return ans%mod;
}

完整程式碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
typedef long long LL;
LL quick_mul(LL x,LL n){
    LL res=1;
    while(n){
    if(n&1)
        res=(res*x)%MOD;
    x=x*x%MOD;
    n/=2;
    }
    return res;
}
int main()
{
    LL n,sum;
    scanf("%I64d",&n);
    sum=(quick_mul(3,n+1)-1)*500000004%MOD;//運用到了等比數列求和公式，等價於（3^(n+1）-1）/2,2對1000000007的逆元為500000004。
    printf("%I64d",sum);
    return 0;
}