題目大意：給定一個 N 個頂點，M 條邊的帶權無向圖，求該無向圖的一個嚴格次小生成樹。

引理：有至少一個嚴格次小生成樹，和最小生成樹之間只有一條邊的差異。

題解：
通過引理可以想到一個暴力，即：先求出最小生成樹，並記錄樹邊，再枚舉刪除 MST 中的每一條邊，每次重新做一次最小生成樹算法，並將計算出來的所有結果取最小值即為答案。以 Kruskal 算法為例，暴力的時間復雜度為 \(O(n^2logn)\)。
現在可以考慮在已知最小生成樹的基礎上，枚舉每條非樹邊，將該邊加入最小生成樹中，並刪去加入邊的兩個端點之間的任意一條邊即可。由於要求次小生成樹，顯然刪去的邊權要盡可能大，又由於要求嚴格次小，為了避免非樹邊權值和端點路徑上最大邊權相同，需要記錄一下端點路徑上的嚴格次大邊權。由此，問題轉化成了如何求解一棵樹上任意兩點之間的最大邊權和嚴格次大邊權。直接考慮倍增即可。時間復雜度為 \(O(nlogn)\)

代碼如下

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxe=3e5+10;
typedef pair<long long,long long> P;

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch==‘-‘)f=-1;}while(!isdigit(ch));
    do{x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}while(isdigit(ch));
    return f*x;
}

struct rec{
    int from,to;
    long long w;
}edge[maxe];
bool cmp(const rec &a,const rec &b){return a.w<b.w;}
struct node{
    int nxt,to;
    long long w;
}e[maxn<<1];
int tot=1,head[maxn];
inline void add_edge(int from,int to,long long w){
    e[++tot]=node{head[from],to,w},head[from]=tot;
}

int n,m,fa[maxn],f[maxn][21],dep[maxn];
long long mx1[maxn][21],mx2[maxn][21],ans,mst;
bool used[maxe];

int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}

void kruskal(){
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1,sum=n;i<=m;i++){
        if(sum==1)break;
        int x=find(edge[i].from),y=find(edge[i].to);
        if(x!=y){
            used[i]=1,mst+=edge[i].w,fa[x]=y,--sum;
            add_edge(edge[i].from,edge[i].to,edge[i].w);
            add_edge(edge[i].to,edge[i].from,edge[i].w);
        }
    }
}

inline void upd(long long &max1,long long &max2,long long x,long long y){
    if(max1==x)max2=max(max2,y);
    else if(max1<x)max2=max1,max1=x,max2=max(max2,y);
    else max2=max(max2,x);
}

void dfs(int u,int fa){
    for(int i=1;i<=20;i++){
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
        mx1[u][i]=mx1[u][i-1],mx2[u][i]=mx2[u][i-1];
        upd(mx1[u][i],mx2[u][i],mx1[f[u][i-1]][i-1],mx2[f[u][i-1]][i-1]);
    }
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;if(v==fa)continue;
        dep[v]=dep[u]+1,f[v][0]=u,mx1[v][0]=e[i].w;
        dfs(v,u);
    }
}

P lca(int x,int y){
    long long max1=0,max2=0;
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
            upd(max1,max2,mx1[x][i],mx2[x][i]);
            x=f[x][i];
        }
    if(x==y)return mp(max1,max2);
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(f[x][i]!=f[y][i]){
            upd(max1,max2,mx1[x][i],mx2[x][i]);
            upd(max1,max2,mx1[y][i],mx2[y][i]);
            x=f[x][i],y=f[y][i];
        }
    upd(max1,max2,mx1[x][0],mx2[x][0]);
    upd(max1,max2,mx1[y][0],mx2[y][0]);
    return mp(max1,max2);
}

void read_and_parse(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)edge[i].from=read(),edge[i].to=read(),edge[i].w=read();
    kruskal();
    dfs(1,0);
}

void solve(){
    ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=m;i++)if(!used[i]){
        P tmp=lca(edge[i].from,edge[i].to);
        if(edge[i].w==tmp.first&&tmp.second)ans=min(ans,edge[i].w-tmp.second);
        else if(edge[i].w>tmp.first)ans=min(ans,edge[i].w-tmp.first);
    }
    printf("%lld\n",mst+ans);
}

int main(){
    read_and_parse();
    solve();
    return 0;   
} 
 

【洛谷P4180】嚴格次小生成樹