題目

傳送門

Description

小 C 最近學了很多最小生成樹的演算法，Prim 演算法、Kurskal 演算法、消圈演算法等等。 正當小 C 洋洋得意之時，小 P 又來潑小 C 冷水了。小 P 說，讓小 C 求出一個無向圖的次小生成樹，而且這個次小生成樹還得是嚴格次小的，也就是說： 如果最小生成樹選擇的邊集是 EM，嚴格次小生成樹選擇的邊集是 ES，那麼需要滿足：(value(e) 表示邊 e的權值) 這下小 C 蒙了，他找到了你，希望你幫他解決這個問題。

Input

第一行包含兩個整數N 和M，表示無向圖的點數與邊數。 接下來 M行，每行 3個數x y z 表示，點 x 和點y之間有一條邊，邊的權值為z。

Output

包含一行，僅一個數，表示嚴格次小生成樹的邊權和。(資料保證必定存在嚴格次小生成樹)

Sample Input

5 6 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 3 4 3 4 5 6

Sample Output

11

HINT

資料中無向圖無自環:50%的資料$N≤2000$,$M≤3000$；80%的資料$N≤50000$,$M≤100000$；100%的資料$N≤100000$,$M≤300000$,邊權值非負且不超過$10^9$。

題意

求一個除最小生成樹之外的最小生成樹。。

題解

要求次小生成樹嘛，那我們就先求最小生成樹好了，就可以得到邊權和ans。 然後我們就可以求出整棵樹的權值之和，我們稱最小生成樹上的邊為“樹邊”，其他多出來的邊為“非樹邊”。 接下來我們考慮一下，次小生成樹嘛，那不就是用一條“非樹邊”替換掉其中的一條“樹邊”所形成的生成樹最小嗎？ 注意哦：我們要求的是嚴格次小生成樹，要嚴格哦，嚴格是什麼意思呢，就是邊權和一定小於最小生成樹，而不能等於。

我們把一條非樹邊$(x,y,z)$新增到最小生成樹中，就會和樹上原本的$(x,y)$之間的樹邊構成一個環，然後我們設$x,y$之間的樹邊的最大值為$mx1$,嚴格次大邊為$mx2。(mx1>mx2)$ 如果$z>mx1$，就把$mx1$對應的那條邊替換成$(x,y,z)$這條邊，就得到了次小生成樹的一個候選結果，邊權和就是$ans-mx1+z$

我們列舉每一條邊，與最小生成樹上的邊替換，計算出上述的所有“候選結果”。在所有候選結果中，選擇一個最小的就是整個圖的嚴格次小生成樹。 這樣問題就來了：我們要如何快速地求出一條路徑上的最大邊權和次大邊權呢？

答案：樹上倍增！！！ 設$f[x][k]$表示的是x的第$2^k$輩祖先，$d1[x][k]$和$d2[x][k]$分別表示從$x$到$f[x][k]$的路徑上的最大邊權和嚴格次大邊權。 於是對於任意$k∈[1,\log n]$就有(自己拿張紙推一下）： 1、$f[x][k]=f[f[x][k-1]][k-1]$（畫個圖感受一下）； 2、$d1[x][k]=max\{d1[x][k-1],d1[f[x][k-1]][k-1]\}$ 3、$d2[x][k]= \left \{\begin{array}{cc} max\{d2[x][k-1],d2[f[x][k-1]][k-1]\}(d1[x][k-1]=d1[f[x][k-1]][k-1])\\ max\{d1[x][k-1],d2[f[x][k-1]][k-1]\}(d1[x][k-1]<d1[f[x][k-1]][k-1])\\ max\{d2[x][k-1],d1[f[x][k-1]][k-1]\}(d1[x][k-1]>d1[f[x][k-1]][k-1]) \end{array}\right.$ 當$k=0$時： 1、$f[x][0]=father(x)$（這裡的$father(x)$並非$fa[x]$） 2、$d1[x][0]=edge(x,father(x))$ 3、$d2[x][0]=-\infty$

下來就考慮每條非樹邊$(x,y,z)$。採用倍增演算法求LCA的框架，$x,y$每向上移動一段路徑，就把每段路徑對應的最大邊權和嚴格次大邊權按照與求$d1$和$d2$陣列類似的方法合併到答案中，最後就可以得到$(x,y)$之間的路徑上的最大邊權和嚴格次大邊權。

好啦，以上都是廢話，我知道你們只看這個。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5+10,MAXM=3e5+10;
struct E{int x,y,z,next;}ed[MAXM*2]; int last[MAXN],tot;
struct UE{int x,y,z; bool bk;}a[MAXM];
int fa[MAXN],dep[MAXN],f[MAXN][25];
ll d1[MAXN][25],d2[MAXN][25];//d1[x][k]代表的是從x到x的2^k輩祖先的路徑最大值，d2則是嚴格次大值。 
ll mn=0x3f3f3f3f;// mn指的是所要替換的邊和原邊的差值，我們要求的是差值最小的，這樣就可以保證一定是次小生成樹 
void ins(int x,int y,int z) {ed[++tot]=(E){x,y,z,last[x]}; last[x]=tot;}// 建邊。。
int get_fa(int x)// 找祖宗。。（並查集）
{
	if(x==fa[x]) return x; // 如果自己的祖宗是自己的話，就返回 
	return fa[x]=get_fa(fa[x]);// 如果自己還不是的話，就繼續往下找 
}
void dfs(int x,int fa)//預處理。。 
{
	for(int i=1;i<=20;i++)
	{
		if(dep[x]<(1<<i)) break; //如果層數小於2^i，就不能往上跳，不然就跳出去了 
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];// x的第2^i輩祖先就是x的第2^(i-1)輩祖先的第2^(i-1)輩祖先（自己可以畫個圖感受一下）
		// 下面就是根據我們上面推出來的公式執行。。 
		d1[x][i]=max(d1[x][i-1],d1[f[x][i-1]][i-1]);
		if(d1[x][i-1]==d1[f[x][i-1]][i-1]) d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[f[x][i-1]][i-1]);
		else
		{
			d2[x][i]=min(d1[x][i-1],d1[f[x][i-1]][i-1]);
			d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[x][i]);
			d2[x][i]=max(d2[x][i],d2[f[x][i-1]][i-1]);
		}
	}
	// 下面就和普通的LCA的預處理一樣 
	for(int k=last[x];k;k=ed[k].next)
	{
		int y=ed[k].y;
		if(y==fa) continue;// 如果y==fa，就表明這是一條重邊，我們不考慮。 
		f[y][0]=x;// y的第2^0(也就是爸爸)是x 
		d1[y][0]=ed[k].z;//剛開始時只有一條邊，就是ed[k]，所以最大值就是自己 
		dep[y]=dep[x]+1;//y比x深一層 
		dfs(y,x);//繼續遞迴。。 
	}
}
int lca(int x,int y) // LCA 
{
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);// 保證x的層數在y下面 
	for(int i=20;i>=0;i--) if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
	// 如果x的第2^i個爸爸的層數還在y的層數下面或者和y的層數相等，就可以往上跳 
	// 當迴圈結束時，條件dep[f[x][i]]>=dep[y]即可保證x和y同層。 
	if(x==y) return x;// 當x與y重合時，就證明找到公共祖先了，公共祖先就是y，也是現在的x 
	for(int i=20;i>=0;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];//x已經和y同層了，兩個同時向上跳相同的層數直到相等 
	// 當迴圈結束時，條件f[x][i]!=f[y][i]即可保證f[x][0]=f[y][0]，所以再向上跳一層就是最近公共祖先(f[x][0])。 
	return f[x][0];
}
void cal(int x,int fa,int z)
{
	ll