題目描述 Description
有n種不同的郵票，皮皮想收集所有種類的郵票。唯一的收集方法是到同學凡凡那裡購買，每次只能買一張，並且買到的郵票究竟是n種郵票中的哪一種是等概率的，概率均為1/n。但是由於凡凡也很喜歡郵票，所以皮皮購買第k張郵票需要支付k元錢。現在皮皮手中沒有郵票，皮皮想知道自己得到所有種類的郵票需要花費的錢數目的期望。

輸入描述 Input Description
一行,一個數字N

輸出描述 Output Description
要付出多少錢. 保留二位小數

樣例輸入 Sample Input
3

樣例輸出 Sample Output
21.25

資料範圍及提示 Data Size & Hint

Solution

用f[i]$f[i]$表示現在取到i$i$張郵票,要取完剩下郵票的期望次數
顯然f[n]=0$f[n]=0$
現在已經取得i$i$張郵票,所以下一次取郵票有in$\frac{i}{n}$的概率取到已經有的,期望為in∗f[i]$\frac{i}{n}\ast f[i]$
有n−in$\frac{n-i}{n}$的概率取到沒有的,期望為n−in∗f[i+1]$\frac{n-i}{n}\ast f[i+1]$,這次取郵票的期望為1,所以總期望為:

用

前面的推導貌似很自然的樣子,但是為啥g[i]$g[i]$的推導式看著就那麼奇怪呢?
那是因為式子的結構表示的是每次都將後面取到的郵票費用+1(總費用+f[i]),再加上自己的費用(+1)
這樣就很好理解了

為啥不是f[0]∗(f[0]+1)/2∗n$f[0]\ast (f[0]+1)/2\ast n$我也想了很久
因為推導過來每次的貢獻是不相同的
比如說所有情況中有1次需要取2張,1次需要取3張,那麼總貢獻為(3+6)/2=4.5$(3+6)/2=4.5$,而期望次數為2.5,顯然是不對的…

程式碼比思考簡單多了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double f[10005],g[10005];
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n-1;~i;--i) {
        f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
        g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
    }
    printf("%.2lf\n",g[0]);
    return 0;
}