作者講得很清楚

記得在高中做數學題時，經常要求曲線的切線。見到形如之類的函式，不管三七二十一直接求導得到，這就是切線的斜率，然後就得到了處的切線。

上大學又學習了曲面切線和法向量的求法，求偏導是法向量，然後套公式求出切線。

一個經典例子如下：

（來自web上某個《幾何應用》ppt）

其中的向量n是F(x,y,z)的偏導數。

然而，這兩者求法看似無關啊，中求得的是切線，然而下面的求偏導後卻是法向量，為啥都是求導，差別這麼大呢？切平面的方程為啥又是與法向量有關呢？

當然這些問題的問答都可以通過嚴格的數學推導完成。這裡想從更加直白的角度來說明道理。

首先，法向量（梯度）是F(X)（其中X={x0,x1,x2,…xn}是n維向量）對各個分量求偏導後的結果，代表了F(X)在各個方向的變化率，整個法向量就是F(X)在各個方向上變化率疊加出來的向量。如對於一維的F(x)=

，在x上導數是2x，意味著在x方向上是以2x的速度變化，比如當x=2時，F(x)變化率為4大於當x=1時（變化率為2）的變化率，法向量的方向只能是x方向，因為F(X)是一維。這裡的F(X)稱為隱函式，如我們平時使用的使用隱函式就可以表示成F(x,y)=f(x)-y，這樣其實F(x,y)是二維的。至於為什麼導數就是變化率，可以通過導數的定義就可以知道了（微小的dx變化引起多大的dy變化）。

那麼我們明白了，隱函式F(X)的法向量就是F(X)對各個分量的偏導數的向量。那麼為何中求得的是切線，而不是法向量？其實我們不能搞混了隱函式F(X)和。隱函式是一個函式，它的值根據X的取值不同而不同。而只是x和y之間滿足的約束關係，如建立x-y座標，兩者的約束關係可以通過圖形（直線、曲線等）來表示。比如我們可以用

來表示一條拋物線，而且能夠在x-y座標系下畫出來。而換用隱函式表示就是F(x,y)=，只有當F(x,y)等於一個給定值（比如0時），它才是一條拋物線，否則它只是一個函式，如果用z來代替F(x,y)，那麼F(x,y)其實是一個曲面，維度上升了1。我們對F(x,y)求偏導後的結果其實就是F(x,y)的值z的變化率。

說明F(x,y)的值究竟將在(x,y)的小範圍能變化多少，這個變化率決定於x方向上的微小變換dx和y方向上微小變換dy的線性組合，而他們的係數就是偏導數。將dx和dy換成單位向量i和j就是法向量了。那麼梯度也就反映了F(X)在某一點的變化率和變換方向。

說的有點繞口，簡而言之，對於一個隱函式F(X)，我們想知道在給定X附近F(X)的變化方向和大小。怎麼去刻畫？由於X的各個方向（x0，x1，x2…xn）上變化速率和方向都不同（比如在x0上以平方級別變化，在x1上以線性方式變化，這個要根據具體的表示式了），而我們想知道他們疊加在一塊是怎麼變化的。我們使用全微分公式（比如上面的

，可以知道他們之間的疊加係數就是偏導數，疊加結果就是變化率，而方向就是x0，x1，x2…相應的變化方向i，j，k…等線性組合得到的方向。

回到為什麼“中求得的是切線”的問題，其實這是最終結論了，是推匯出來的。第一步我們將寫成隱函式（這裡的x，y都是實數了，上面的X是向量），。

然後求F對x的偏導得=

求F對y的偏導得-1。

即梯度是

由於切線和法向量是垂直的，因此切線和法向量內積為0。

設切線方向向量為(m,n)，那麼，即。

可見，切線斜率是。

回到上面藍色圖片中的曲面求切平面問題，求出某點的法向量後，在該點的切平面要滿足兩個條件，一是要過切點，而是要反映出該點的變化方向（這裡不是該點F(X)值的變化方向，而是該點自己的變化方向）。然而該點的變化最終要反映出該點F(X)值的變化，也就是切平面的變化要反映出法向量的變化，而偏導數正是反映出了F(X)值的變化。因此切平面的偏導數與F(X)的偏導數是一樣的。我們從藍色圖片中看到，切平面正是利用了F(X)的偏導數。

有上面的全微分公式，我們可以更好地理解極值，為什麼常說函式取得極值的時候導數為0呢。假設一維情況，吧，要求極小值，兩邊微分後得，當x=0時，導數2x為0，取得極值。否則，如果x為正數，那麼dx只需向左調整(dx<0)，就能使F(x)值變小，如果x為負數，那麼dx只需向右調整（dx>0），就能使F(x)變小。因此最後調整結果是x=0。對於二維情況，

的值在計算後會有正負值，但我們應該注意到dx可正可負，dy也可正可負，只要有一個不為0，那麼通過調整dx，dy的正負號（也就是確定怎麼移動x和y）就可以使的值變大變小。只有在偏導數都是0的情況下，無論如何調整dx和dy，都是0，取得極值。

以上只是一些個人淺顯理解，目的是建立感性認識，會存在一些紕漏。

*下面是個人更為通俗的理解：

如果函式是一維的變數，則梯度就是切線的方向

如果是大於一維的，梯度就是在這個點的法向量，並指向數值更高的等值線，這就是為什麼求最小值的時候要用負梯度