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基本知識

如果要把n+1個物品放進n個盒子中，那麼至少有一個盒子包含兩個或更多東西

這個就是鴿巢原理，本文完

原理很簡單，我們提出兩個推論：

• 如果將n個物體放入n個盒子並且沒有一個盒子是空的，那麼每個盒子恰好有一個物體
• 如果將n個物體放入n個盒子中並且沒有一個盒子被放入多於一個的物體，那麼每個盒子裡有一個物體

看一下例題吧（從題中參透精華）：

∞ 例一

給定m個整數a1,a2,a3,…,am，存在連續的一段區間，使得區間和能被m整除

首先，看到區間和就要條件反射般想到用字首和

我們把字首和%m後，會有一個很顯然但很玄妙的細節：
%m後的數值的範圍一定在：0~m-1（一共m種值）
這就說明，這m+1種字首和中，有m種不同的數值，那麼一定有兩個字首和%m後的值相等
因此要求的區間一定是在這兩個相等的字首和之間的數列

∞ 例二

一位國際象棋大師有11周的時間備戰一場錦標賽，ta決定每天至少下一盤棋
為了不使自己過於疲勞，ta還決定每週不能下超過12盤棋
證明存在連續若干天，期間這位大師恰好下了21盤棋

設ai是在第一天所下的盤數，
因為每天至少下一盤棋，故數列序a[1],a[2],a[3],…,a[77]一定是一個嚴格遞增序列
又因為任意一週最多下12盤棋，所以a[77]<=11*12=132，因此我們有：
1<=a[1] < a[2] < … < a[77]<=132
那麼序列a[1]+21,a[2]+21,a[3]+21…一定也是一個嚴格遞增的序列
22<=a[1]+21 < a[2]+21 < … < a[77]+21<=153
於是
a[1],a[2],a[3],…,a[n],a[1]+21,a[2]+21,…a[n]+21

∞ 例三

設m和n是互素的正整數，並設a和b為整數，其中0<=a<=m-1，0<=b<=n-1
於是存在正整數x，使得x%m=a，x%n=b

為證明這個決定，我們考慮n個整數：
a
m+a
2m+a
3m+a
…
(n-1)m+a

這些整數中，每一個%m餘數都是a
設其中有兩個數除以n有相同的餘數r，令這兩個數為：im+a，jm+a，其中0<=i < j<=n-1
於是，存在兩個整數Qi和Qj，使得：
i*m+a=Qi*n+r
j*m+a=Qj*n+r
得：(j-i)m=(Qj-Qi)n
因為m，n互質，因此n一定是（j-i）的因子

然而0<=i < j<=n-1，那麼j-i<=n-1，上式不成立

因此，我們可以斷定：這n個數%n之後的餘數各不相同
只要再多取一個數，那麼%n的餘數一定會和之前的n個數中之一一樣

原問題得證

加強版的鴿巢原理

定理一

設Q1,Q2,…,Qn是正整數，如果將（Q1+Q2+…+Qn-n+1）個物體放入n個盒子內
那麼或者第一個盒子至少含有Q1個物體，或者第二個盒子至少含有Q2個物體，…，或者第n個盒子至少含有Qn個物體

證明：
假設我們把（Q1+Q2+…+Qn-n+1）個物體放入n個盒子，而每個盒子中的物品都不超過Qi個
那麼最多有：
（Q1-1）+（Q2-1）+（Q3-1）+…+（Qn-1）=（Q1+Q2+…+Qn）-n
個物品
但是原題目中的物品數目比上式的多一個，這個多出來的物品，無論放在哪一個盒子中，都有原題設

鴿巢原理的加強版的著色術語就是：

如果（Q1+Q2+…+Qn-n+1）個物體，用n種顏色之一著色，那麼存在某個i，使得第i中顏色的物體（至少）有Qi個

顯而易見不是嗎？

推論一

設n和r都是正整數，如果把n(r-1)+1個物體中的每一個物體費拍到n個盒子中，那麼至少有一個盒子含有r個或更多的物體

在本節的最後，我們提出一個很重要的討論：

應用

有n^2+1個人排成一列，總能找到n+1個人向前邁一步，使得他們的身高是遞增的（或遞減的）
注意：我們這裡說的遞增指的是單調不減

我們假設不存在長度為n+1的遞增子序列，證明必然存在長度為n+1的遞減子序列
設每個人的身高就是ai
mi為以每一個元素開頭的最長遞增子序列
由題設得：
也就是說：n^2+1個m值都分佈在[1,n]這個區間內

由鴿巢原理加強版，一定有n+1個元素的m值相等

設

若存在一個i（i∈[1,2,…,k]）使得
那麼我們就可以把m[k[i+1]]接到a[k[i]]後面，形成一個新的遞增序列
這樣m[k[i]]>m[k[i+1]]，與原題設不符
因此我們得到：
那麼我們可以同理得出：
因此數列： 即為長度為n+1的遞減子序列

原問題得證