01分數規劃

01分數規劃問題：所謂的01分數規劃問題就是指這樣的一類問題，給定兩個陣列，a[i]表示選取i的收益，b[i]表示選取i的代價。如果選取i，定義x[i]=1否則x[i]=0。每一個物品只有選或者不選兩種方案，求一個選擇方案使得R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])取得最值，即所有選擇物品的總收益/總代價的值最大或是最小。

01分數規劃問題主要包含一般的01分數規劃、最優比率生成樹問題、最優比率環問題等。我們將會對這三個問題進行討論。

永遠要記得，我們的目標是使R取到最值，本文主要討論取到最大值的情況。這句話我會在文中反覆的強調。

【一些分析】

數學分析中一個很重要的方法就是分析目標式，這樣我們來看目標式。

R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])

我們來分析一下他有什麼性質可以給我們使用。

我們先定義一個函式F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，顯然這只是對目標式的一個簡單的變形。分離引數，得到F(L):=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。這時我們就會發現，如果L已知的話，a[i]-L*b[i]就是已知的，當然x[i]是未知的。記d[i]=a[i]-L*b[i]，那麼F(L):=sigma(d[i]*x[i])，多麼簡潔的式子。我們就對這些東西下手了。

再次提醒一下，我們的目標是使R取到最大值。

我們來分析一下這個函式，它與目標式的關係非常的密切，L就是目標式中的R，最大化R也就是最大化L。

F的值是由兩個變數共同決定的，即方案X和引數L。對於一個確定的引數L來說，方案的不同會導致對應的F值的不同，那麼這些東西對我們有什麼用呢?

假設我們已知在存在一個方案X使得F(L)>0，這能夠證明什麼?

F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])>0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>L也就是說，如果一個方案使得F(L)>0說明了這組方案可以得到一個比現在的L更優的一個L，既然有一個更優的解，那麼為什麼不用呢？

顯然，d陣列是隨著L的增大而單調減的。也就是說，存在一個臨界的L使得不存在一種方案，能夠使F(L)>0. 我們猜想，這個時候的L就是我們要求的最優解。之後更大的L值則會造成無論任何一種方案，都會使F(L)<0.類似於上面的那個變形，我們知道，F(L)<0是沒有意義的，因為這時候的L是不能夠被取得的。當F(L)=0使，對應方案的R值恰好等於此時的L值。

綜上，函式F(L)有這樣的一個性質：在前一段L中可以找到一組對應的X使得F(L)>0，這就提供了一種證據，即有一個比現在的L更優的解，而在某個L值使，存在一組解使得F(L)=0,且其他的F(L)<0，這時的L無法繼續增大，即這個L就是我們期望的最優解，之後的L會使得無論哪種方案都會造成F(L)<0.而我們已經知道，F(L)<0是沒有任何意義的，因為此時的L值根本取不到。

最後一次提醒，我們的目標是R！！！

如果現在你覺得有些暈的話，那麼我要提醒你的就是，千萬不要把F值同R值混淆。F值是根據我們的變形式求的D陣列來計算的，而R值則是我們所需要的真實值，他的計算是有目標式決定的。F值只是提供了一個證據，告訴我們真正最優的R值在哪裡，他與R值本身並沒有什麼必然的聯絡。

根據這樣的一段性質，很自然的就可以想到二分L值，然後驗證是否存在一組解使得F(L)>0，有就移動下界，沒有就移動上界。

所有的01分數規劃都可以這麼做，唯一的區別就在於求解時的不同——因為每一道題的限制條件不同，並不是每一個解都是可行解的。比如在普通的陣列中，你可以選取1、2、3號元素，但在生成樹問題中，假設1、2、3號元素恰好構成了一個環，那就不能夠同時選擇了，這就是需要具體問題，具體分析的部分。

二分是一個非常通用的辦法，但是我們來考慮這樣的一個問題，二分的時候我們只是用到了F(L)>0這個條件，而對於使得F(L)>0的這組解所求到的R值沒有使用。因為F(L)>0,我們已經知道了R是一個更優的解，與其漫無目的的二分，為什麼不將解移動到R上去呢？求01分數規劃的另一個方法就是

，他就是基於這樣的一個思想，他並不會去二分答案，而是先隨便給定一個答案，然後根據更優的解不斷移動答案，逼近最優解。由於他對每次判定使用的更加充分，所以它比二分會快上很多。但是，他的弊端就是需要儲存這個解，而我們知道，有時候驗證一個解和求得一個解的複雜度是不同的。二分和Dinkelbach演算法寫法都非常簡單，各有長處，大家要根據題目謹慎使用。

本題程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
int s[maxn],c[maxn];
double y[maxn];
int n,k;
bool cmp(double a,double b){
    return a>b;
}
bool check(double x){
    for(int i=0;i<n;i++){
        y[i]=c[i]*s[i]-s[i]*x;
    }
    //sort(y,y+n,cmp);
    nth_element(y,y+k,y+n,cmp);
    double sum=0;
    for(int i=0;i<k;i++){
        sum+=y[i];
    }
    return sum>=0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    k=n-k;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&s[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&c[i]);
    }
    double l=0,r=1e10;
    for(int i=0;i<60;i++){//浮點數的獨特的二分方法
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    printf("%.7f\n",r);
}