2118: 墨墨的等式

Description

墨墨突然對等式很感興趣，他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=B存在非負整數解的條件，他要求你編寫一個程式，給定N、{an}、以及B的取值範圍，求出有多少B可以使等式存在非負整數解。

Input

輸入的第一行包含3個正整數，分別表示N、BMin、BMax分別表示數列的長度、B的下界、B的上界。輸入的第二行包含N個整數，即數列{an}的值。

Output

輸出一個整數，表示有多少b可以使等式存在非負整數解。

Sample Input

2 5 10

3 5

Sample Output

5

HINT

對於100%的資料，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

Source

       這題總體來說並不難，很明顯，如果存在一個合法的解b$b$，那麼b$b$+$+$ ∀$\mathrm{\forall }$ a[i]$a[i]$也一定是合法的，故我們只要對於∀$\mathrm{\forall }$ a[i]$a[i]$算出模其結果不同的合法的最小的數就能知道答案了。為了提高效率，我們取mn=min{a[i]$a[i]$}。

       一維陣列d[i]$d[i]$表示模mn$mn$等於i$i$的最小的合法解，這可以用dijkstra$dijkstra$或spfa$spfa$輕鬆求出；用calc(x)$calc(x)$表示[0,

x]$[0,x]$中的合法解總數，則cal(x)=∑i=0mn−1⌊x−d[i]mn⌋+1(x≥d[i])$$cal(x)=\sum _{i=0}^{mn-1}\lfloor \frac{x-d[i]}{mn}\rfloor +1(x\ge d[i])$$

       最終答案即為：calc(bmax)−calc(bmin−1)$$calc(bmax)-calc(bmin-1)$$

       注意忽略a[i]$a[i]$中的0$0$ ！！！

       附上程式碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int
 
 n;
long long bl,br;
int a[13];
int mn=1e9;
int cnt;
long long d[500010];
bool inq[500010];
long long calc(long long x)
{
    long long res=0;
    for(int i=0;i<mn;i++)
    {
        if(d[i]>x)continue;
        res+=(x-d[i])/mn+1;
    } 
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld%lld",&n,&bl,&br);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        if(!x)continue;
        a[++cnt]=x;
        mn=min(mn,a[i]);
    }
    for(int i=1;i<mn;i++)d[i]=1e18;
    queue<int>q;
    q.push(0);
    inq[0]=true;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        inq[x]=false;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
        {
            int y=(x+a[i])%mn;
            if(d[x]+a[i]<d[y])
            {
                d[y]=d[x]+a[i];
                if(!inq[y])
                {
                    inq[y]=true;
                    q.push(y); 
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld",calc(br)-calc(bl-1));
    return 0;
}