網路流24題16. 數字梯形問題
數字梯形問題
Description
給定一個由 n 行數字組成的數字梯形如下圖所示。梯形的第一行有 m 個數字。從梯形的頂部的 m 個數字開始,在每個數字處可以沿左下或右下方向移動,形成一條從梯形的頂至底的路徑。
規則 1:從梯形的頂至底的 m條路徑互不相交。
規則 2:從梯形的頂至底的 m條路徑僅在數字結點處相交。
規則 3:從梯形的頂至底的 m條路徑允許在數字結點相交或邊相交。
對於給定的數字梯形,分別按照規則 1,規則 2,和規則 3 計算出從梯形的頂至底的 m 條路徑,使這 m條路徑經過的數字總和最大。
Input
第 1 行中有 2 個正整數 m和 n(m,n<=20),分別表示數字梯形的第一行有 m 個數字,共有 n 行。接下來的 n 行是數字梯形中各行的數字。第 1 行有 m個數字,第 2 行有 m+1 個數字,…。
Output
輸出按照規則 1,規則 2,和規則 3 計算出的最大數字總和。
每行一個最大總和。
Sample Input
2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1
Sample Output
66
75
77
題解
規則(1)
把梯形中每個位置抽象為兩個點
1、對於每個點i從
2、從S向梯形頂層每個
3、從梯形底層每個
4、對於每個點i和下面的兩個點j,分別連一條從
求最大費用最大流,費用流值就是結果。
規則(2)
把梯形中每個位置看做一個點i,建立附加源S匯T。
1、從S向梯形頂層每個i連一條容量為1,費用為0的有向邊。
2、從梯形底層每個i向T連一條容量為無窮大,費用為i的權值的有向邊。
3、對於每個點i和下面的兩個點j,分別連一條從i到j容量為1,費用為點i權值的有向邊。
求最大費用最大流,費用流值就是結果。
規則(3)
把梯形中每個位置看做一個點i,建立附加源S匯T。
1、從S向梯形頂層每個i連一條容量為1,費用為0的有向邊。
2、從梯形底層每個i向T連一條容量為無窮大,費用為i的權值的有向邊。
3、對於每個點i和下面的兩個點j,分別連一條從i到j容量為無窮大,費用為點i權值的有向邊。
求最大費用最大流,費用流值就是結果。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000 * 2 + 10, M = 1000000 + 10, inf = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{
int fr, to, cap, flow, cost;
}edg[M];
int hd[N], nxt[M], tot;
int s, t;
int q[N], inq[N], d[N], p[N], a[N];
int n, m, mp[50][50];
void insert(int u, int v, int w, int x){
edg[tot].fr = u, edg[tot].to = v, edg[tot].cap = w, edg[tot].flow = 0, edg[tot].cost = x;
nxt[tot] = hd[u]; hd[u] = tot;
tot++;
edg[tot].fr = v, edg[tot].to = u, edg[tot].cap = 0, edg[tot].flow = 0, edg[tot].cost = -x;
nxt[tot] = hd[v]; hd[v] = tot;
tot++;
}
bool spfa(int &fl, int &cst){
for(int i = s; i <= t; i++) d[i] = -inf;
int head = 0, tail = 1;
q[0] = s; inq[s] = 1;
d[s] = 0; p[s] = 0; a[s] = inf;
while(head != tail){
int u = q[head++]; if(head == 2001) head = 0;
inq[u] = 0;
for(int i = hd[u]; i >= 0; i = nxt[i]){
Edge &e = edg[i];
if(e.cap > e.flow && d[e.to] < d[u] + e.cost){
d[e.to] = d[u] + e.cost;
p[e.to] = i;
a[e.to] = min(a[u], e.cap - e.flow);
if(!inq[e.to]){
q[tail++] = e.to; if(tail == 2001) tail = 0;
inq[e.to] = 1;
}
}
}
}
if(d[t] == -inf) return false;
fl += a[t];
cst += a[t] * d[t];
int u = t;
while(u != s){
edg[p[u]].flow += a[t];
edg[p[u]^1].flow -= a[t];
u = edg[p[u]].fr;
}
return true;
}
int maxflow(){
int flow = 0, cost = 0;
while(spfa(flow, cost));
return cost;
}
void init(){
scanf("%d%d", &m, &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++)
scanf("%d", &mp[i][j]);
}
int get(int i, int j){
return (m + m + i - 2) * (i - 1) / 2 + j;
}
void work1(){
int num = get(n, n + m - 1);
s = 0, t = num * 2 + 1;
memset(hd, -1, sizeof(hd));
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++){
insert(get(i, j), num + get(i, j), 1, mp[i][j]);
if(i < n){
insert(num + get(i, j), get(i+1, j), 1, 0);
insert(num + get(i, j), get(i+1, j+1), 1, 0);
}
}
for(int i = 1; i <= m; i++)
insert(s, i, 1, 0);
for(int i = 1; i <= n + m -1; i++)
insert(num + get(n, i), t, 1, 0);
printf("%d\n", maxflow());
}
void work2(){
memset(hd, -1, sizeof(hd));
memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
tot = 0;
for(int i = 1; i <= m; i++)
insert(s, i, 1, 0);
for(int i = 1; i <= n + m - 1; i++)
insert(get(n, i), t, inf, mp[n][i]);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++)
if(i < n){
insert(get(i, j), get(i+1, j), 1, mp[i][j]);
insert(get(i, j), get(i+1, j+1), 1, mp[i][j]);
}
printf("%d\n", maxflow());
}
void work3(){
memset(hd, -1, sizeof(hd));
memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
tot = 0;
for(int i = 1; i <= m; i++)
insert(s, i, 1, 0);
for(int i = 1; i <= n + m - 1; i++)
insert(get(n, i), t, inf, mp[n][i]);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m + i - 1; j++)
if(i < n){
insert(get(i, j), get(i+1, j), inf, mp[i][j]);
insert(get(i, j), get(i+1, j+1), inf, mp[i][j]);
}
printf("%d\n", maxflow());
}
int main(){
freopen("prog816.in", "r", stdin);
freopen("prog816.out", "w", stdout);
init();
work1();
work2();
work3();
return 0;
}