20、 歷屆試題 公式求值  




問題描述
　　輸入n, m, k，輸出下面公式的值。
        
　　其中C_n^m是組合數，表示在n個人的集合中選出m個人組成一個集合的方案數。組合數的計算公式如下。


輸入格式
　　輸入的第一行包含一個整數n；第二行包含一個整數m，第三行包含一個整數k。
輸出格式
　　計算上面公式的值，由於答案非常大，請輸出這個值除以999101的餘數。
樣例輸入
3
1
3
樣例輸出
162
樣例輸入
20
10
10
樣例輸出
359316
資料規模和約定
　　對於10%的資料，n≤10，k≤3；
　　對於20%的資料，n≤20，k≤3；
　　對於30%的資料，n≤1000，k≤5；
　　對於40%的資料，n≤10^7，k≤10；
　　對於60%的資料，n≤10^15，k ≤100；
　　對於70%的資料，n≤10^100，k≤200；
　　對於80%的資料，n≤10^500，k ≤500；
　　對於100%的資料，n在十進位制下不超過1000位，即1≤n<10^1000，1≤k≤1000，同時0≤m≤n，k≤n。
提示
　　999101是一個質數；
　　當n位數比較多時，絕大多數情況下答案都是0，但評測的時候會選取一些答案不是0的資料；

用到的知識  lucas定理  尤拉定理 或費馬小定理  快速冪   數學組合公式推導

lucas定理  求C(n,m)%p    

數論Lucas定理：是用來求 c(n,m) mod p的值,p是素數（從n取m組合，模上p）

描述為:

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

這裡，其實就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由於 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

費馬小定理   a^(p-1) mod p=1 (mod p)

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class L_20END {
	/***
	 * @author 林梵
	 */
	public static BigInteger lucas(BigInteger n,BigInteger m,BigInteger p){
		if(m.equals(BigInteger.ZERO)) return BigInteger.ONE;
		return BigInteger.valueOf(f(n.mod(p).longValue(),m.mod(p).longValue())).multiply(lucas(n.divide(p),m.divide(p),p)).mod(p);
	}

	public static long f(long n,long m){
		if(m>n) return 1;
		if(n==m|| m==0) return 1;
		if(m>n-m) m=n-m;
		long tmpi=1,tmpn=1,s1=1,s2=1,ans=1;
		for (int i = 1; i<=m; i++) {
			tmpi=i;
			tmpn=n-i+1;
			s1=s1*tmpi%999101;
			s2=s2*tmpn%999101;
		}
		ans = s2*pow1(s1,999099)%999101;
		return ans%999101;
	}
	public static long pow1(long x,long n) {
		if(x==1) return 1;
		if (n==0)
			return 1;
		else {
			while ((n & 1)==0) {
				n>>=1;
				x=(x *x)%999101;
			}
		}
		long result = x%999101;
		n>>=1;
		while (n!=0) {
			x=(x *x)%999101;;
			if ((n & 1)!=0)
				result =result*x%999101;
			n>>=1;
		}
		return  result;
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		BigInteger n = new BigInteger(sc.nextLine());
		BigInteger m = new BigInteger(sc.nextLine());
		int k = Integer.parseInt(sc.nextLine());
		long start = System.currentTimeMillis();
		BigInteger md = new BigInteger("999101");
		long Cnm=lucas(n, m,md).longValue()%999101;
		long sum = 0;
		if(Cnm!=0){
			int[][] a = new int[k][k];
			int h = 1;
			for (int i = 0; i < k; i++) {
				for (int j = 0; j < k; j++) {
					if (j >= h)
						a[i][j] =0;
					else {
						if (j == 0 || j == h - 1)
							a[i][j] = 1;
						else {
							a[i][j] = (a[i - 1][j - 1]*(h - j)+a[i - 1][j])%999101;
						}
					}
				}
				h++;
			}
			long m1 = 1,n1 =1;
			long x=n.subtract(new BigInteger(k+"")).mod(md.subtract(BigInteger.ONE)).longValue();
			long n3 = pow1(2,x);
			for (int i = k - 1; i >= 0; i--) {
				n1=n3*pow1(2,i)%999101;
				m1 = m1*(n.subtract(new BigInteger((k - 1 - i) + "")).mod(md).longValue())%999101;
				sum = (sum+m1*a[k - 1][i]*n1)%999101;
			}
			sum = sum*Cnm%999101;
		}
		System.out.println(sum);
		long end = System.currentTimeMillis();
		System.out.println(end - start);
	}

}