摘要：

水平集的表現和合適的初始化和控制引數的最優配置有關，這需要大量的人工干預。這篇文章提出了一個新的模糊水平集演算法去優化醫學影象分割。可以直接演化根據空間模糊聚類的初始分割。水平集的控制引數也是來自於模糊聚類。而且模糊水平計演算法被增強通過區域性正則化的方程。這些改進促進了水平集的演化，並且帶來更魯棒的分割。本文演算法的表現評價是在不同醫學影象上進行試驗而來的。結果證明了它在醫學影象上分割的有用性。

引言

醫學影象分割的潛在目標是將它分為不同的結構上的區域，從而分割出感興趣的部分，如血管和肝腫瘤從他們的背景中分割出來。計算機醫學影象處理是一個挑戰性問題，因為影象低的解析度和弱對比性。更甚任務總是更困難由於噪聲和人工因素，這些來自醫療裝置的侷限、重建的演算法和病人的移動。目前還沒有通用的醫學影象分割演算法。一個演算法的優點和缺點總是在調查研究中改變。

大多數醫學影象的產生是灰度影象。假設一個醫學影象I(x,y),x屬於[1,Nx],y屬於[1,Ny]是空間索引，畫素(x,y)代表相關的強度。影象分割是為了找出有意義的子集，

指數k和j是在[1,K]之間，K是子集的個數。

方程式1代表影象分割應該是完整的，方程二要求不重疊。

影象分割有兩個建立好的內容：畫素分類和跟蹤變化的邊界。第一個假設各子集中的畫素有接近一致的性質，解剖上的結構具有相似的特徵。演算法可能同時檢查多重部分，但是他們對噪聲敏感，對影象的不均勻性敏感。對比來看，追蹤變分邊界的方法使用了密度和空間資訊，因此一個子集需要是均勻的，在一個具體的變分邊界上封閉。當應用到醫學影象分割，它們都不魯棒由於內在的噪聲和人為因素。

實際中應用的分割演算法需要放射醫生、使用他們的經驗和知識，為了最優化的分割表現從而小心地調節引數。由於醫學影象的複雜性，大多數計算機系統是以半自動或者互動的方式執行，放射醫生初始化分割，當有需要時中斷，最終停止演算法。顯然這樣非常主觀且耗費人力的。因此，人力操縱的緩解決定了分割演算法在臨床上的接受度。

水平計演算法，建立在動態隱式和偏微分方程，被證明在醫學影象處理上是有效的。然而使用這些方法，臨床的放射科醫生和工程實踐者覺得有壓力面對高強度的計算要求和複雜控制引數的調節。目前技術水平試驗朝著便於操縱、同時有較好的分割結果發展。

有很多混合智慧的系統使用模糊聚類去優化水平集分割。簡而言之，這些演算法使用模糊聚類，依據影象的灰度來做初始分割，然後利用水平集來達到目標優化通過追蹤邊界的變化。我們之前的工作在肝腫瘤的分割上表明：模糊聚類大約勾畫出腫瘤的邊界，不僅減少了人工的干預，同時加速了水平集的演化。Ho和suri提出了規範水平集演化通過模糊聚類，為了減輕噪聲敏感和弱邊緣等問題。然而，操作者仍然需要小心設定一些引數為了最優的水平集分割。

本文中，我們提出了一個模糊水平集演算法為了自動醫學影象分割。和我們以前的方法相比，新的演算法有意義的改進從以下方面。首先，模糊聚類結合了空間資訊在自適應優化，減少了中間形態的操作。第二，水平集的控制引數直接來自於模糊聚類的結果。第三，一個新的策略，來自於模糊聚類，提出來規則化水平集的方程。最終，我們驗證了模糊水平集演算法在一般的醫學影象，如超聲、CT、MRI。

空間模糊聚類和影象分割

在模糊聚類，子類的中心和範圍可能會適應變化為了最小化提前定義的成本函式。所以是合適的把模糊聚類看做是一個自適應閾值的方法。FCM是模糊聚類中流行的演算法之一，而且比較廣泛地應用在醫學問題中。

經典的FCM演算法來自於K-means演算法，簡單地說：k-means演算法想要設定N個物體，依據他們的性質，將他們分為K個聚類（K<N）,對於醫學影象分割，N等於影象中畫素的個數Nx*Ny。期待的結果包括每個聚類的中心，和N個物體的歸屬。標準的k-means演算法嘗試最小化價值函式：

In是具體的影象畫素，vm是第m個聚類中心，||.||代表距離。理想的k-means演算法的結果是使聚類之間的差異性最大，一個聚類中畫素的差異性最小。

K-means聚類，每個物體屬於K個聚類中的一類且只屬於一類，對比來說，FCM使用聚類函式umn代表第n個畫素對第m個聚類中心的隸屬度，這對於醫學影象分割來說是正當的，因為生理的組織並不是說同類的。FCM的成本函式和方程3類似。

其中引數l>1,控制得到的分割的模糊度。隸屬度函式受限於如下的限制條件：

隸屬度函式和聚類中心迭代公式如下：

標準FCM演算法是這樣優化的：當畫素靠近聚類中心他們被安排高的隸屬度值，當他們遠離聚類函式時被安排低的畫素值。

標準FCM演算法在影象分割中問題之一是：缺乏空間資訊。因為影象噪聲和人工因素損害FCM演算法的分割表現，將空間資訊融入FCM演算法則是非常吸引人的。Cai et al提出了一個廣泛的FCM演算法，採用了相似度因子將區域性灰度和空間資訊融合起來。和以上前期的權值對比，是可能使用形態學操作去應用空間限制在後處理階段。

Chuang提出了另外的空間FCM演算法，將空間資訊結合進模糊隸屬度函式直接使用

P和q是兩個引數控制相對的分佈。變數hmn包括空間資訊。

Nn是畫素n周圍的區域性視窗。還是按(6)和（7）來進行迭代。

水平集分割

與FCM演算法採用畫素分類，水平集方法是以動態變化的邊界來進行影象分割。活動輪廓模型分割影象是比較有名的演算法，但是不是引數活動輪廓模型，水平集方法將它們嵌入在偏微分方程中， ，然後通過追蹤零水平集的變化來確定活動輪廓模型的演化。

隱式曲線包含一個或一系列的零等值線。影象分割的議題因此轉化為：

注意t變數的加入導致更高一維的水平集函式，這帶來了更多的計算量，但是有很多實際的優點。例如：曲線 可以根據水平集函式的取值來決定，還可以自然地適應 的拓撲變換。特別地，水平集方程完全由下面的演化方程決定：

代表梯度， 是初始化曲線，F代表的複合力。包括內力來自於曲線的幾何引數（曲率、輪廓的長度、面積）和外力來自於影象梯度和人工動量。

前進的力F需要被正則化，通過邊緣檢測函式使水平集接近最優解。

           是影象I和高斯核的 的卷積， 代表一個影象的梯度。G函式在變分邊界時值為0.其他地方的值為正數。一個流行的水平集公式為：

代表平均曲率，v是通常所說的氣球力。

水平集影象分割面臨最大的問題是：大量的計算。水平集函式將2D影象分割的問題轉化為3D問題。穩定的水平集分割有其他的限制，例如，時間步長和網格需要遵從 條件，水平集函式應該被週期性的初始化作為一個符號距離函式。為了應對這些挑戰，一個快速的水平集函式被提出：

第一項是一個懲罰項，偏離符號距離函式。

第二項結合了影象的梯度資訊。

代表Dirac函式， 控制那些項的各自貢獻。

本質上 驅使水平集函式到達變分邊界，這和標準水平集函式很像。然而，懲罰項 驅使曲線保持符號距離函式，這有很大的優勢。新演算法消除了為了符號距離函式重新初始化計算的複雜性，第二，它可以來自於任意的二值區域。

C是一個普通的常量，它允許更大的時間步長，但是仍然保持穩定的演化：

改變導致了快速的水平集醫學影象分割。速度的增長使它更容易測試和評價水平集影象分割。

一個新的水平集演算法

FCM演算法和水平集演算法都是通用的計算機模型，可以應用於任何維的問題。如果我們約束限制它們在醫學影象分割，可以利用某一環境來獲得更好的表現。一個新的模糊水平集演算法因此提出為了醫學影象的自動分割。它首先進行空間模糊聚類，結果應用於初始水平集分割，估計控制引數和規範水平集演化。

新的模糊水平集演算法自動初始化和水平集演化的引數配置，使用空間模糊聚類。它使用FCM利用空間限制去決定醫學影象中感興趣區域的目標輪廓。受益於靈活的初始化像方程18那樣，增強的水平集函式可以直接使用FCM的結果來演化。假設感興趣目標的組成部分在FCM演化結果中是 ，非常方便去初始化水平集函式，

       是個常數調節Dirac函式，Dirac函式定義如下：

是一個可調節的閾值。受益於空間模糊聚類， 可以在某種意義上接近目標區域，可以通過 進行便利地調節。

水平集函式中有很多控制引數，它們對於醫學影象分割都很重要。因此很有必要合適地配置它們，但是根據例子不同引數的調節也往往不同。現在沒有一個通用的規則來指導引數的配置。例如，一個大的 會帶來更加平滑的影象，但是犧牲了一些影象的細節。一個大的時間步長能夠加速水平集的演化，但是會引起邊界洩漏的危險。而且有必要選擇一個正數v,如果初始化曲線 在目標的外面。反之亦然。

而且，通過反覆試驗，對水平集分割有幾個不成文的規定。時間步長和懲罰項因子 為了穩定分割必須小於0.25.引數C應該比 大。同時太大的C又會使水平集的速度減慢。我們實驗中也發現，太大的 會使輪廓邊緣更光滑，大的V能夠加速水平集演化。但是，有一個邊界洩漏的風險，上面通用的指南雖然有用，但不充足決定一副醫學影象的合理配置。

非常吸引人對不同的醫學影象去決定他們的控制引數，考慮初始化水平集函式 通過空間模糊聚類結果在方程式20中。

我們觀察，如果目標區域大的話，水平集演化會更快。在這種條件下，這一比率：

也將會很大。因此這是合理的把時間步長作為 在本文所提的演算法中，懲罰項的係數被設定為：

因為 應該小於0.25,為了穩定的演化，初始水平集函式 來自於方程20，會接近真正的邊界。一個比較保守的

用來控制拓撲的變化。

氣球力v在水平集中起2個作用。它的符號決定了水平集函式的前進方向，正收縮，負擴張。第二，v越大，水平集演化越快。在標準的水平集演算法中，控制引數v經常被設定為一個全域性常量。然而，使水平集方程演化快一點是非常有優勢的，特別是當 離真正的邊界比較遠的時候。相反，水平集在接近邊界的時候需要降下來速度。更甚，水平集函式應該改變方向，當它穿過目標邊界的時候。我們把FCM預分割，作為定量的指標，在規則化水平集演化方程時尤其有用。

新的模糊水平集演算法將影象畫素的隸屬度 作為感興趣區域 的的距離，這裡提出了一個增強的氣球力，去拉或者推動動態曲線靠近目標區域。

氣球力 是一個矩陣，在每一個影象畫素上有一個拉或者推力，換句話說，水平集函式將會收到吸引不管他初始的位置，於是演化方程轉化為：

提出的增強獲得了幾個實際的好處，氣球力能夠直接從空間模糊聚類得到。更甚水平集函式現在適應距離去真正的邊界。一旦接近物體，水平集函式會自動地使水平集演化減緩，而且將是完全獨立的在平滑項上。由於一個 在這採用，水平集演化自動穩定。另外一個額外的好處是非常方便選擇一個較大的迭代時間，如果沒有這個改進的話，操作者需要去注意水平集的演化，以免分割不充分或者過分割。

試驗和討論

對不同的醫學影象進行試驗和表現評價，包括超聲頸動脈、CT肝腫瘤、MRI大腦組織。空間的FCM和本文提出的演算法都用MATLAB進行了模擬試驗。

第一個試驗用來證明空間FCM對於初始化水平集函式的有用性。它採用了快速水平集演算法來進行曲線演化，這些來自於手工標定、灰度閾值和空間模糊聚類。這些表現對比在超聲影象上。顯然，由於弱邊緣和強的背景噪聲，手工初始化不能達到一個最優的水平集分割。相反，灰度閾值和模糊聚類被動態曲線快速地吸引到邊界，值得一提的是一個灰度不均勻的影象導致了邊緣洩漏，圖d,而基於模糊聚類的演算法補救了它。

圖二介紹了肝腫瘤的例子，並對肝腫瘤進行了分割。有兩個像癌的組織在器官邊界，分割非常困難因為弱和不規則的邊緣，肝組織自己是不均勻的因為血管，同樣，非常具有挑戰性去決定最初的初始化和水平集演化引數。圖2顯示FCM聚類有最好的表現在水平集初始化方面，然而如果沒有合適的控制引數，要麼分割不足，要麼過分割。如j和I.

圖3介紹了更加困難的情況，這需要分割過程進行 和 從MRI的腦組織切片中。顯然WM和GM纏在一起，分散在整個影象上。這使人工初始化不切實際，灰度閾值和FCM在這方面有點優勢。然而，很難去獲取控制引數去控制水平集演化。如上所示，沒有合適的配置，水平集分割更差比初始的模糊聚類。D,j,f,I。

第二個實驗的目標是驗證新的模糊水平集演算法。改進是用於將模糊聚類應用於水平集分割演算法來獲得自動的引數配置。影象4表現了它在超聲頸動脈影象的分割效果。對於那些引數擴張水平集的輪廓，4a，初始化的FCM分割被刪了，通過一個閾值0.99。為對比，閾值為0.5為了收縮引數。為了預分割通過空間FCM獲得，水平集對控制引數不是那麼敏感，並且保持在真正的目標邊緣附近。

本文所提出的演算法相對普通，對於那些邊界相對清晰的影象來說。然而，在影象沒有明顯的邊界，它是十分重要控制水平集函式的運動。操作者需要持續監控水平集的演化，頻繁地調節不同的控制引數，否則不合適的分割就會出現。為對比，新的模糊水平集演算法能夠找到控制引數從模糊聚類中自動地。特別地，它的解法是魯棒和接近完美的。

總結來說，我們提出的模糊水平集演算法允許靈活的初始化對醫學影象的分割。3個範例進行了證明和比較。手工的宣告和灰度閾值對於水平集的初始化十分方便。文獻中大多數的水平集系統都採用這種形式。然而，組織間的邊緣在醫學影象中通常是弱和不明顯的。至於影象的不均勻性和邊界洩漏，人工初始化顯然不是一個可靠的選擇對於水平集影象分割。更多，感興趣的部分通常散佈在整個影象，定位他們十分不方便。對比來看，灰度閾值在這方面有優勢。然而，它需要小心地調節閾值，這對於那些糾纏在一起的組織來說十分具有挑戰性。

模糊聚類能夠靠近目標區域的邊界，也能夠初始化一張影象的分割。然而，傳統的FCM演算法，僅僅包含影象的灰度資訊，對於醫學影象分割並不魯棒，由於噪聲和人工因素。增強的空間FCM演算法嘗試聯合灰度和空間資訊作為一個整體。模糊聚類演算法已經不受影響對不同型別的噪聲，因此，它也是合適的為水平集演化方程。

水平集演化方程受曲線內部不同的力和外部影象的力。非常困難協調這些力成為一個比較好的分割。對於具體的影象可以通過反覆的試驗來獲取最優的引數，圖4-6顯示，儘管好的初始化，不合適的控制引數，可能會導致較差的分割。更甚，對於那些弱邊緣，以及模糊不清的邊緣，操作者需要時刻警惕著水平集曲線的演化，否則最終會分割不足或者過分割。新的聚類水平集演算法有優勢，它能夠從模糊聚類的結果中估計最好的曲線演化控制引數。實際中這些都促使了水平集的分割。

是合適的將文中呈現的工作和先前的知識融合起來形成可變形的模型。但是，在醫學影象分析中並不能獲得可靠的先驗知識和模型。例如，計算機肝腫瘤分割十分複雜，形狀和肝腫瘤的灰度因個體而不同，因醫學裝置而不同，甚至處於病理學的不同階段。模糊聚類能夠自動地獲得感興趣區域的潛在內容，因此它作為一個有效的先驗知識用於水平集的分割。

結論

一個新的模糊水平集演算法提出為了醫學影象的自動分割。它使用模糊集函式作為初始的水平集函式，增強FCM演算法附加空間資訊能夠接近感興趣的邊界。因此水平集演算法從一個具真正水平集比較近的區域進行演化。而且，新演算法從模糊聚類的結果估計了控制引數。這減少了人工互動。最後，水平集方程通過變分氣球力進行了矯正，因此能夠通過空間模糊聚類實現正則化。換句話說，水平集演化當它接近真正的邊界它會穩定，這不僅避免了邊界洩漏，又減輕了人工干預。所有這些進步使得演算法比較魯棒。演算法表現也通過了不同的醫學影象進行了試驗，結果證明還是很有希望的。

模糊水平集演算法來自經典的 在這種，水平集演化方程服從不同的內力和外力。可以把醫學影象處理看做是一個MS模型問題，水平集函式形成去最小化能量泛函，為了一個最優的分割。後者的演算法對初始的邊界不像前者那麼敏感。在接下來的研究中，有趣使用本文提取的方法應用到MS水平集模型中用於影象分割。