深度分析遊戲中的隨機概率
這段時間公司開發的遊戲上線測試，許多玩家在抽卡時抱怨臉黑，很難抽到所需要的卡牌，而又有一部分玩家反應運氣好能連著抽到紫卡，檢查了下隨機相關邏輯程式碼，並沒有找出問題所在，玩家運氣好與壞只是覺得真有可能是概率原因。
測試開服了幾天之後，需要開放某個限時抽卡活動，在內部測試時，我們發現玩家反應的問題在限時抽卡中格外明顯，尤其是其中最主要的一張稀有卡牌，猜測因為限時抽卡庫配置的種類較少，然後就拿該活動來檢查了下我們遊戲隨機機制問題。
5%概率？20次出現一次？
大部分遊戲策劃使用權值來配置隨機概率，因為權值有個好處就是可以在增加隨機物品時，可以不對之前的配置進行更改，比如：白卡 30，藍卡 10，紫卡 10，轉為概率即是：白卡 60%，藍卡 20%，紫卡 20%。
而上述限時抽卡的例子中，我們的權值配置是5和95，模擬50000次隨機（使用系統隨機函式，如C的rand函式，Python的random庫）得到如下結果：
上圖繪製的是權值為5的卡牌的隨機狀態，紅色的圖是分佈圖，X軸是出現的次數，Y軸是相同卡牌再次出現的間隔。綠色的圖是分佈概率圖，X軸是間隔數，Y軸是概率。按策劃的想法，5%概率應該等同於20次出現一次，那上圖很明顯並不滿足20次出現一次出現規則，實際間隔從近到遠呈下坡形狀分佈，就是說相鄰的概率最大，間隔最大超過160，這與玩家所吐槽的抽卡體驗是一致的。但50000次隨機總共出現了2508次，從統計的意義上來說又是符合5%概率的。所以這個問題，究其原因就是所謂的概率是統計意義上的還是分佈意義上的問題。
最原始的實現
我用列表裡取元素的方式來模擬20次出現一次，為了方便比較異同，直接隨機的方式我也貼上相關程式碼。
| 1 2 |
pool = [0]*5 + [1]*95
result = [random.choice(a) for i in xrange(N)]
|
上面是直接隨機的方式，只保證5%概率。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 |
pool = []
result = []
for i in xrange(N):
if not pool:
pool = [0]*1 + [1]*19
random.shuffle(pool)
result.append(pool[-1])del pool[-1]
|
上面是打亂列表，然後依次取元素的方式，保證20次出現一次，而5%概率則是隱含在內的，生成效果如下圖。
該圖明顯跟第一個實現的圖不一樣，上圖表明瞭間隔基本上是落在[0, 40]的區間內，並且均勻分佈在20那條藍色對稱線附近。這個才是最終想要的隨機的效果。紅色的線是正態分佈曲線，是不是很相似？後面我會講到。
眼尖的會發現在第一個實現中我用的pool是[0]*5 + [1]*95，而第二個實現中我用的是[0]*1 + [1]*19。
這裡20次出現一次並不等同於100次出現五次，也是從分佈的意義上來說的，100次出現五次是存在5次連續出現的可能。
針對策劃的配置，我們需要進行預處理，怎麼處理？GCD啊~，5和95的最大公約數是5，所以在第二個實現的程式碼中我直接使用了1和19。
但這裡有個問題，一般策劃配置的隨機庫中肯定有多個物品。權值如果配置的比較隨意的話，很可能就導致GCD為1，這樣想要實現XX次出現一次就不可行了。比如剛才的權值配置5和95，再加一個權值為11的話，就只能實現111次出現5次。
所以這兩種依賴列表的隨機方式並不適用，一是需要維護的列表記憶體會比較大，二是對策劃配置方式有過多約束。
更通用更優美的實現
20次出現一次是以20為標準週期，當然不能每次都是間隔20出現，這樣就太假了，根本沒有隨機感受可言，為了模擬隨機並可以控制一定的出現頻率，我選擇正態分佈來進行偽隨機分佈生成，原因是分佈會更自然一些。
關於正態分佈這裡就不詳細描述了，只需關心分佈的兩個引數即可，位置引數為μ、尺度引數為σ。根據正態分佈，兩個標準差之內的比率合起來為95%；三個標準差之內的比率合起來為99%。
用上面的例子來定下引數，μ=20,σ=20/3，這樣每次按正態分佈隨機，就能得到一個理想的隨機分佈和概率區間。
C語言標準函式庫中只有rand，如何生成符合正態分佈的隨機數可以參見WiKi上的介紹。這裡我直接使用Python中random庫中的normalvariate函式，當然gauss函式也是一樣的，官方文件上說gauss函式會快些，StackOverFlow上說gauss是非執行緒安全函式，所以會快。我自己簡單測試了下，在單執行緒情況下，gauss是會快些，但只是快了一點點而已。
首先，我直接生成權值為5的卡牌的間隔，檢驗下正態分佈的隨機效果。
| 1 2 3 |
NN = int(N*0.05)
mu, sigma = 20, 20/3.
delta = [int(random.normalvariate(mu, sigma)) for i in xrange(NN)]
|
這圖是不是比第二個實現的圖更好看一些，分佈也更平滑一些呢。OK，接下來就是替換舊的隨機演算法了。
細節和優化
剛才說了隨機庫中會有很多物品，都需要按照各自的權值隨機，並各自出現頻率符合正態分佈。下面我們來說說細節。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
wtp = [1.*x/sum(wt) for x in wt]
result = []
p = [random.normalvariate(1./x, 1./x/3.) for x in wtp]
for i in xrange(N):
minp = 1.e9
minj = -1
for j, pp in enumerate(p):
if pp < minp:
minp = pp
minj = j
result.append(minj)
for j, pp in enumerate(p):
p[j] -= minp
p[minj] = random.normalvariate(1./wtp[minj], 1./wtp[minj]/3.)
|
這裡我使用了統一的隨機種子，隨機測試了500萬次後，所得的結果與多個隨機種子差別不大。
簡單解釋下程式碼：初始化對所有物品按權值進行正態分佈隨機，每次取位置最小值的物品（也就是最先出現的），然後其它物品均減去該值，被取出的物品再單獨進行一次正態分佈隨機，再次迴圈判斷位置最小值。
這裡，每次都需要對所有物品進行求最小值和減法，都是需要遍歷的運算，我們可以有如下優化。
例如：(1,3,4) -> 取1減1, (0,2,3) -> 隨機1, (1,2,3)，其實我們只是為了保持各物品之間位置的相對順序即可，將對其它物品的減法變成對自己的加法，操作量級立馬從O(N)縮為O(1) 。
如上面的例子：(1,3,4) -> 取1, (0,3,4) -> 隨機1加1, (2,3,4)，這樣的操作不會改變物品序列的正確性。
熟悉最小堆的朋友，將查詢最小值優化到O(1)應該也沒啥問題吧。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 |
wtp = [1.*x/sum(wt) for
|