同餘定理【數論】
同餘定理是數論中的重要概念。給定一個正整數m,如果兩個整數a和b滿足(a-b)能夠被m整除,即(a-b)/m得到一個整數,那麼就稱整數a與b對模m同餘,記作a≡b(mod m)
。
同餘符號
兩個整數a、b,若它們除以整數m所得的餘數相等,則稱a與b對模m同餘或a同餘於b模m。記作a≡b(mod m)
【定義】 設m是大於1的正整數,a、b是整數,如果m|(a-b),則稱a與b關於模m同餘,記作a≡b(mod m)。顯然有如下事實:
- 若a≡0(mod m),則m|a;
- a≡b(mod m)等價於a與b分別用m去除,餘數相同。
證明
充分性:
若a和b用m相除留下相同的餘數r,則 a=q1m+r
b=q2m+r
,q1和q2為某兩個整數,由此的a-b=(q1m+r)-(q2m-r)=m(q1-q2)
,根據整除定義,我們有m|(a-b)
,由同餘式定義得出結論:a≡b(mod m)
必要性:
若a和b用m相除留下相同的餘數r,則 a=q1m+r
,b=q2m+r
,所以a-b=m(q1-q2)
故 m|(a-b)
。
同餘性質
反身性:a≡a (mod m)
對稱性: 若a≡b(mod m),則b≡a(mod m)
傳遞性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡c(mod m)
同餘式相加:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a ± c≡b ± d(mod m)
同餘式相乘:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則ac≡bd(mod m)
線性運算:如果a≡b(mod m),c≡d(mod m),那麼a ± c≡b ± d(mod m),且
a * c≡b * d(mod m)
除法:若ac ≡ bc (mod m) c≠0 則 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公約數。特殊地 ,gcd(c,m)=1 則a ≡ b (mod m)
冪運算:如果a ≡ b (mod m),那麼a^n ≡ b^n (mod m)
若a ≡ b (mod m),n|m,則 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 則 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍數
相關定理
- 尤拉定理
- 費馬小定理
- 中國剩餘定理(孫子定理)