概述

射線和三角形的相交檢測是遊戲程式設計中一個常見的問題，最典型的應用就是拾取(Picking)，本文介紹一個最常見的方法，這個方法也是DirectX中採用的方法，該方法速度快，而且儲存空間少。先講述理論，然後給出對應的程式碼實現。

理論部分

一個直觀的方法

我想大多數人在看到這個問題時，可能都會想到一個簡單而直觀的方法：首先判斷射線是否與三角形所在的平面相交，如果相交，再判斷交點是否在三角形內。

但是，上面的方法效率並不很高，因為需要一個額外的計算，那就是計算出三角形所在的平面，而下面要介紹的方法則可以省去這個計算。

本文的方法

接下來會涉及到一些數學知識，不過沒關係，我會詳細解釋每一個步驟，不至於太晦澀，只要您不覺得煩就行了，好了開始！

射線的引數方程如下，其中O是射線的起點，D是射線的方向。

我們可以這樣理解射線，一個點從起點O開始，沿著方向D移動任意長度，得到終點R，根據t值的不同，得到的R值也不同，所有這些不同的R值便構成了整條射線，比如下面的射線，起點是P0，方向是u，p0 + tu也就構成了整條射線。

三角形的引數方程如下，其中V0，V1和V2是三角形的三個點，u, v是V1和V2的權重，1-u-v是V0的權重，並且滿足u>=0, v >= 0,u+v<=1。

確切的說，上面的方程是三角形及其內部所有點的方程，因為三角形內任意一點都可以理解為從頂點V0開始，沿著邊V0V1移動一段距離，然後再沿著邊V0V2移動一段距離，然後求他們的和向量。至於移動多大距離，就是由引數u和v控制的。

於是，求射線與三角形的交點也就變成了解下面這個方程-其中t,u,v是未知數，其他都是已知的

移項並整理，將t,u,v提取出來作為未知數，得到下面的線性方程組

現在開始解這個方程組，這裡要用到兩個知識點，一是克萊姆法則，二是向量的混合積。

令E1 = V1 - V0，E2 = V2 - V0，T = O - V0上式可以改寫成

根據克萊姆法則，可得到t,u,v的解分別是

將這三個解聯合起來寫就是

根據混合積公式

上式可以改寫成

令

得到最終的公式，這便是下面程式碼中用到的最終公式了，之所以提煉出P和Q是為了避免重複計算

程式碼部分

理論部分闡述完畢，開始上程式碼，這份程式碼來自DirectX SDK中的Demo，名字叫做Picking(拾取)，該函式位於檔案Pick.cpp的最末尾。這個函式有一個特點，就是判斷語句特別多，因為對於一個頻繁被呼叫的函式來說，效率是最重要的，這麼多判斷就是為了在某個條件不滿足時，及時返回，避免後續不必要的計算。

 1 // Determine whether a ray intersect with a triangle
 2 // Parameters
 3 // orig: origin of the ray
 4 // dir: direction of the ray
 5 // v0, v1, v2: vertices of triangle
 6 // t(out): weight of the intersection for the ray
 7 // u(out), v(out): barycentric coordinate of intersection
 8 
 9 bool IntersectTriangle(const Vector3& orig, const Vector3& dir,
10     Vector3& v0, Vector3& v1, Vector3& v2,
11     float* t, float* u, float* v)
12 {
13     // E1
14     Vector3 E1 = v1 - v0;
15 
16     // E2
17     Vector3 E2 = v2 - v0;
18 
19     // P
20     Vector3 P = dir.Cross(E2);
21 
22     // determinant
23     float det = E1.Dot(P);
24 
25     // keep det > 0, modify T accordingly
26     Vector3 T;
27     if( det >0 )
28     {
29         T = orig - v0;
30     }
31     else
32     {
33         T = v0 - orig;
34         det = -det;
35     }
36 
37     // If determinant is near zero, ray lies in plane of triangle
38     if( det < 0.0001f )
39         return false;
40 
41     // Calculate u and make sure u <= 1
42     *u = T.Dot(P);
43     if( *u < 0.0f || *u > det )
44         return false;
45 
46     // Q
47     Vector3 Q = T.Cross(E1);
48 
49     // Calculate v and make sure u + v <= 1
50     *v = dir.Dot(Q);
51     if( *v < 0.0f || *u + *v > det )
52         return false;
53 
54     // Calculate t, scale parameters, ray intersects triangle
55     *t = E2.Dot(Q);
56 
57     float fInvDet = 1.0f / det;
58     *t *= fInvDet;
59     *u *= fInvDet;
60     *v *= fInvDet;
61 
62     return true;
63 }

引數說明

輸入引數：前兩個引數orig和dir是射線的起點和方向，中間三個引數v0，v1和v2是三角形的三個頂點。 

輸出引數：t是交點對應的射線方程中的t值，u，v則是交點的紋理座標值

程式碼說明

變數的命名方式：為了方便閱讀，程式碼中的變數命名與上面公式中的變數保持一致，如E1，E2，T等。

變數det表示矩陣的行列式值

27-35行用來確保det>0，如果det<0則令det = -det，並對T做相應的調整，這樣做是為了方便後續計算，否則的話需要分別處理det>0和det<0兩種情況。

第38行，注意浮點數和0的比較，一般不用 == 0的方式，而是給定一個Epsilon值，並與這個值比較。

第43行，這裡實際上u還沒有計算完畢，此時的值是Dot(P,T)，如果Dot(P,T) > det, 那麼u > 1，無交點。

第51行，要確保u + v <= 1，也即 [Dot(P,T) + Dot(Q, D)] / det 必須不能大於1，否則無交點。

第57-60行，走到這裡時，表明前面的條件都已經滿足，開始計算t, u, v的最終值。

交點座標

根據上面程式碼求出的t,u,v的值，交點的最終座標可以用下面兩種方法計算

O + Dt

(1 - u - v)V0 + uV1 + vV2

後記

在本文開頭已經說了，射線和三角形的相交檢測最典型的應用就是拾取，比如在一個三維場景中用滑鼠選擇某個物體。那麼拾取是如何實現的呢？我們知道在物體的三維模型表示中，三角形是最小的幾何圖元，最小意味著不可再分，也就是說任何模型，無論它多麼複雜，都可以由若干個三角形組合而成。拾取過程實際是判斷拾取射線是否與模型相交，而這又可以轉化為-只要射線與模型中的任何一個三角形相交即可。下面是模型的線框表示法，可見如果想要判斷某條射線是否與這個茶壺相交，只要判斷該射線是否與茶壺模型中某個三角形相交即可。

需要注意的是，雖然射線和三角形的相交檢測可以用來實現拾取，但是大多數程式並不採用這個方法，原因是這個方法效率很低，我們可以設想，一個大型的3D線上遊戲，它的模型數量以及複雜程度都是很高的，如果用這種方法來判斷，需要對模型中每個三角形都做一次判斷，效率極其低下，一種可行的方案是，用包圍球或者包圍盒來代替，計算出能容納模型的最小球體或者矩形體，只要判斷出射線與包圍球或者包圍盒相交，我們就認為射線與模型相交，這樣效率會顯著提高，只是精確度上會有一定誤差，但是足以滿足多數程式的需要。

Happy Coding

== The End ==