下面這段數學推理，是大牛xiaonian分析出來。不得不承認，他的分析很不錯。

Posted by xiaonian at 2013-05-04 14:07:10 on Problem 1018

/****************************************************
這題要求n的階乘的位數，如果n較大時，n的階乘必將是一個
很大的數，題中說1<=n<10000000，當n=10000000時可以說n
的階乘將是一個非常巨大的數字，對於處理大數的問題，我
們一般用字串，這題當n取最大值時，就是一千萬個數字相
乘的積，太大了，就算儲存在字串中都有一點困難，而且
一千萬個數字相乘是會涉及到大數的乘法，大數的乘法是比較
耗時的，就算計算出結果一般也會超時。這讓我們不得不拋棄
這種直接的方法。

再想一下，這題是要求n的階乘的位數，而n的階乘是n個數的
乘積，那麼要是我們能把這個問題分解就好了。

在這之前，我們必須要知道一個知識，任意一個正整數a的位數
等於(int)log10(a) + 1；為什麼呢？下面給大家推導一下：

  對於任意一個給定的正整數a，
  假設10^(x-1)<=a<10^x，那麼顯然a的位數為x位，
  又因為
  log10(10^(x-1))<=log10(a)<(log10(10^x))
  即x-1<=log10(a)<x
  則(int)log10(a)=x-1,
  即(int)log10(a)+1=x
  即a的位數是(int)log10(a)+1

我們知道了一個正整數a的位數等於(int)log10(a) + 1，
現在來求n的階乘的位數：
假設A=n!=1*2*3*......*n，那麼我們要求的就是
(int)log10(A)+1，而：
log10(A)=log10(1*2*3*......n)  （根據log10(a*b) = log10(a) + log10(b)有）
        =log10(1)+log10(2)+log10(3)+......+log10(n)
現在我們終於找到方法，問題解決了，我們將求n的階乘的位
數分解成了求n個數對10取對數的和，並且對於其中任意一個數，
都在正常的數字範圍之類。

總結一下：n的階乘的位數等於
		  (int)(log10(1)+log10(2)+log10(3)+......+log10(n)) + 1

根據這個思路我們很容易寫出程式
****************************************************/