• 概述：
    Red-Black tree(紅黑樹)是平衡二分搜尋樹（balanced binary search tree)中常被使用的一種平衡二分搜尋樹的特徵：排列規則有利於search和insert，並保持適度平衡————無任何結點太深。
     紅黑樹只要求區域性平衡，C++ STL中的map、set、multimap、multiset都應用了紅黑樹。
    紅黑樹的每個節點或者上都有儲存位表示節點的顏色，顏色是紅或者黑，紅黑樹的特徵有：1.每個節點或者是黑色或者是紅色 2.根節點是黑色 3.每個葉子節點是黑色[這裡葉子節點，是指為空的葉子節點] 4.如果一個節點是黑色的，那麼它的子節點必須是黑色的 5.從一個節點到該節點的子節點的所有路徑上包含相同數目的黑節點[注意：這裡需要確保沒有一條路徑會比其他路徑長出兩倍]

  rb_tree提供“遍歷”操作及iterators。按正常規則（++ite）遍歷，便能獲得排序狀態（sorted）。
  我們不應使用rb_tree的iterators改變元素值（因為元素有其嚴謹的排列規則）。程式設計裡面（programming leve）並未阻絕此事。如此設計是正確的，因為rb_tree即將為set和map服務（作為其底部支援），而map允許元素的data被改變，只有元素的key才是不可被改變的。
  rb_tree提供兩種insertion操作：insert_unique()和insert_equal前者表示節點的key 一定在整個tree中獨一無二，否則安插失敗，後者表示節點的key可以重複。

•   紅黑樹的基本操作是新增、刪除和旋轉。在對紅黑樹進行新增或者刪除後，會用到旋轉方法。因為新增或刪除紅黑樹中的節點之後，紅黑樹就發生了變化，可能不滿足紅黑樹的五條特性，也就不再是一顆紅黑樹了，而是一顆普通的樹。而通過旋轉，可以使這顆樹重新成為紅黑樹。簡單的說旋轉的目的是為了讓樹保持紅黑樹的特性。
  以下為參考程式碼：

enum RBTColor{RED, BLACK};

template <class T>
class RBTNode{
    public:
        RBTColor color;    // 顏色
        T key;            // 關鍵字(鍵值)
 

        RBTNode *left;    // 左孩子
        RBTNode *right;    // 右孩子
        RBTNode *parent; // 父結點

        RBTNode(T value, RBTColor c, RBTNode *p, RBTNode *l, RBTNode *r):
            key(value),color(c),parent(),left(l),right(r) {}
};

template <class T>
class RBTree {
    private:
        RBTNode<T> *mRoot;    // 根結點

    public:
        RBTree();
        ~RBTree();

        // 前序遍歷"紅黑樹"
        void preOrder();
        // 中序遍歷"紅黑樹"
        void inOrder();
        // 後序遍歷"紅黑樹"
        void postOrder();

        // (遞迴實現)查詢"紅黑樹"中鍵值為key的節點
        RBTNode<T>* search(T key);
        // (非遞迴實現)查詢"紅黑樹"中鍵值為key的節點
        RBTNode<T>* iterativeSearch(T key);

        // 查詢最小結點：返回最小結點的鍵值。
        T minimum();
        // 查詢最大結點：返回最大結點的鍵值。
        T maximum();

        // 找結點(x)的後繼結點。即，查詢"紅黑樹中資料值大於該結點"的"最小結點"。
        RBTNode<T>* successor(RBTNode<T> *x);
        // 找結點(x)的前驅結點。即，查詢"紅黑樹中資料值小於該結點"的"最大結點"。
        RBTNode<T>* predecessor(RBTNode<T> *x);

        // 將結點(key為節點鍵值)插入到紅黑樹中
        void insert(T key);

        // 刪除結點(key為節點鍵值)
        void remove(T key);

        // 銷燬紅黑樹
        void destroy();

        // 列印紅黑樹
        void print();
    private:
        // 前序遍歷"紅黑樹"
        void preOrder(RBTNode<T>* tree) const;
        // 中序遍歷"紅黑樹"
        void inOrder(RBTNode<T>* tree) const;
        // 後序遍歷"紅黑樹"
        void postOrder(RBTNode<T>* tree) const;

        // (遞迴實現)查詢"紅黑樹x"中鍵值為key的節點
        RBTNode<T>* search(RBTNode<T>* x, T key) const;
        // (非遞迴實現)查詢"紅黑樹x"中鍵值為key的節點
        RBTNode<T>* iterativeSearch(RBTNode<T>* x, T key) const;

        // 查詢最小結點：返回tree為根結點的紅黑樹的最小結點。
        RBTNode<T>* minimum(RBTNode<T>* tree);
        // 查詢最大結點：返回tree為根結點的紅黑樹的最大結點。
        RBTNode<T>* maximum(RBTNode<T>* tree);

        // 左旋
        void leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x);
        // 右旋
        void rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y);
        // 插入函式
        void insert(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node);
        // 插入修正函式
        void insertFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node);
        // 刪除函式
        void remove(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node);
        // 刪除修正函式
        void removeFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node, RBTNode<T> *parent);

        // 銷燬紅黑樹
        void destroy(RBTNode<T>* &tree);

        // 列印紅黑樹
        void print(RBTNode<T>* tree, T key, int direction);

#define rb_parent(r)   ((r)->parent)
#define rb_color(r) ((r)->color)
#define rb_is_red(r)   ((r)->color==RED)
#define rb_is_black(r)  ((r)->color==BLACK)
#define rb_set_black(r)  do { (r)->color = BLACK; } while (0)
#define rb_set_red(r)  do { (r)->color = RED; } while (0)
#define rb_set_parent(r,p)  do { (r)->parent = (p); } while (0)
#define rb_set_color(r,c)  do { (r)->color = (c); } while (0)
};

/* 
 * 對紅黑樹的節點(x)進行左旋轉
 *
 * 左旋示意圖(對節點x進行左旋)：
 *      px                              px
 *     /                               /
 *    x                               y                
 *   /  \      --(左旋)-->           / \                #
 *  lx   y                          x  ry     
 *     /   \                       /  \
 *    ly   ry                     lx  ly  
 *
 *
 */
template <class T>
void RBTree<T>::leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x)
{
    // 設定x的右孩子為y
    RBTNode<T> *y = x->right;

    // 將 “y的左孩子” 設為 “x的右孩子”；
    // 如果y的左孩子非空，將 “x” 設為 “y的左孩子的父親”
    x->right = y->left;
    if (y->left != NULL)
        y->left->parent = x;

    // 將 “x的父親” 設為 “y的父親”
    y->parent = x->parent;

    if (x->parent == NULL)
    {
        root = y;            // 如果 “x的父親” 是空節點，則將y設為根節點
    }
    else
    {
        if (x->parent->left == x)
            x->parent->left = y;    // 如果 x是它父節點的左孩子，則將y設為“x的父節點的左孩子”
        else
            x->parent->right = y;    // 如果 x是它父節點的左孩子，則將y設為“x的父節點的左孩子”
    }

    // 將 “x” 設為 “y的左孩子”
    y->left = x;
    // 將 “x的父節點” 設為 “y”
    x->parent = y;
}

/* 
 * 對紅黑樹的節點(y)進行右旋轉
 *
 * 右旋示意圖(對節點y進行左旋)：
 *            py                               py
 *           /                                /
 *          y                                x                  
 *         /  \      --(右旋)-->            /  \                     #
 *        x   ry                           lx   y  
 *       / \                                   / \                   #
 *      lx  rx                                rx  ry
 * 
 */
template <class T>
void RBTree<T>::rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y)
{
    // 設定x是當前節點的左孩子。
    RBTNode<T> *x = y->left;

    // 將 “x的右孩子” 設為 “y的左孩子”；
    // 如果"x的右孩子"不為空的話，將 “y” 設為 “x的右孩子的父親”
    y->left = x->right;
    if (x->right != NULL)
        x->right->parent = y;

    // 將 “y的父親” 設為 “x的父親”
    x->parent = y->parent;

    if (y->parent == NULL) 
    {
        root = x;            // 如果 “y的父親” 是空節點，則將x設為根節點
    }
    else
    {
        if (y == y->parent->right)
            y->parent->right = x;    // 如果 y是它父節點的右孩子，則將x設為“y的父節點的右孩子”
        else
            y->parent->left = x;    // (y是它父節點的左孩子) 將x設為“x的父節點的左孩子”
    }

    // 將 “y” 設為 “x的右孩子”
    x->right = y;

    // 將 “y的父節點” 設為 “x”
    y->parent = x;
}



/* 
 * 將結點插入到紅黑樹中
 *
 * 引數說明：
 *     root 紅黑樹的根結點
 *     node 插入的結點        // 對應《演算法導論》中的node
 */
template <class T>
void RBTree<T>::insert(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node)
{
    RBTNode<T> *y = NULL;
    RBTNode<T> *x = root;

    // 1. 將紅黑樹當作一顆二叉查詢樹，將節點新增到二叉查詢樹中。
    while (x != NULL)
    {
        y = x;
        if (node->key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    node->parent = y;
    if (y!=NULL)
    {
        if (node->key < y->key)
            y->left = node;
        else
            y->right = node;
    }
    else
        root = node;

    // 2. 設定節點的顏色為紅色
    node->color = RED;

    // 3. 將它重新修正為一顆二叉查詢樹
    insertFixUp(root, node);
}

/* 
 * 將結點(key為節點鍵值)插入到紅黑樹中
 *
 * 引數說明：
 *     tree 紅黑樹的根結點
 *     key 插入結點的鍵值
 */
template <class T>
void RBTree<T>::insert(T key)
{
    RBTNode<T> *z=NULL;

    // 如果新建結點失敗，則返回。
    if ((z=new RBTNode<T>(key,BLACK,NULL,NULL,NULL)) == NULL)
        return ;

    insert(mRoot, z);
}


/*
 * 紅黑樹插入修正函式
 *
 * 在向紅黑樹中插入節點之後(失去平衡)，再呼叫該函式；
 * 目的是將它重新塑造成一顆紅黑樹。
 *
 * 引數說明：
 *     root 紅黑樹的根
 *     node 插入的結點        // 對應《演算法導論》中的z
 */
template <class T>
void RBTree<T>::insertFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* node)
{
    RBTNode<T> *parent, *gparent;

    // 若“父節點存在，並且父節點的顏色是紅色”
    while ((parent = rb_parent(node)) && rb_is_red(parent))
    {
        gparent = rb_parent(parent);

        //若“父節點”是“祖父節點的左孩子”
        if (parent == gparent->left)
        {
            // Case 1條件：叔叔節點是紅色
            {
                RBTNode<T> *uncle = gparent->right;
                if (uncle && rb_is_red(uncle))
                {
                    rb_set_black(uncle);
                    rb_set_black(parent);
                    rb_set_red(gparent);
                    node = gparent;
                    continue;
                }
            }

            // Case 2條件：叔叔是黑色，且當前節點是右孩子
            if (parent->right == node)
            {
                RBTNode<T> *tmp;
                leftRotate(root, parent);
                tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }

            // Case 3條件：叔叔是黑色，且當前節點是左孩子。
            rb_set_black(parent);
            rb_set_red(gparent);
            rightRotate(root, gparent);
        } 
        else//若“z的父節點”是“z的祖父節點的右孩子”
        {
            // Case 1條件：叔叔節點是紅色
            {
                RBTNode<T> *uncle = gparent->left;
                if (uncle && rb_is_red(uncle))
                {
                    rb_set_black(uncle);
                    rb_set_black(parent);
                    rb_set_red(gparent);
                    node = gparent;
                    continue;
                }
            }

            // Case 2條件：叔叔是黑色，且當前節點是左孩子
            if (parent->left == node)
            {
                RBTNode<T> *tmp;
                rightRotate(root, parent);
                tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }

            // Case 3條件：叔叔是黑色，且當前節點是右孩子。
            rb_set_black(parent);
            rb_set_red(gparent);
            leftRotate(root, gparent);
        }
    }

    // 將根節點設為黑色
    rb_set_black(root);
}



/* 
 * 刪除結點(node)，並返回被刪除的結點
 *
 * 引數說明：
 *     root 紅黑樹的根結點
 *     node 刪除的結點
 */
template <class T>
void RBTree<T>::remove(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node)
{
    RBTNode<T> *child, *parent;
    RBTColor color;

    // 被刪除節點的"左右孩子都不為空"的情況。
    if ( (node->left!=NULL) && (node->right!=NULL) ) 
    {
        // 被刪節點的後繼節點。(稱為"取代節點")
        // 用它來取代"被刪節點"的位置，然後再將"被刪節點"去掉。
        RBTNode<T> *replace = node;

        // 獲取後繼節點
        replace = replace->right;
        while (replace->left != NULL)
            replace = replace->left;

        // "node節點"不是根節點(只有根節點不存在父節點)
        if (rb_parent(node))
        {
            if (rb_parent(node)->left == node)
                rb_parent(node)->left = replace;
            else
                rb_parent(node)->right = replace;
        } 
        else 
            // "node節點"是根節點，更新根節點。
            root = replace;

        // child是"取代節點"的右孩子，也是需要"調整的節點"。
        // "取代節點"肯定不存在左孩子！因為它是一個後繼節點。
        child = replace->right;
        parent = rb_parent(replace);
        // 儲存"取代節點"的顏色
        color = rb_color(replace);

        // "被刪除節點"是"它的後繼節點的父節點"
        if (parent == node)
        {
            parent = replace;
        } 
        else
        {
            // child不為空
            if (child)
                rb_set_parent(child, parent);
            parent->left = child;

            replace->right = node->right;
            rb_set_parent(node->right, replace);
        }

        replace->parent = node->parent;
        replace->color = node->color;
        replace->left = node->left;
        node->left->parent = replace;

        if (color == BLACK)
            removeFixUp(root, child, parent);

        delete node;
        return ;
    }

    if (node->left !=NULL)
        child = node->left;
    else 
        child = node->right;

    parent = node->parent;
    // 儲存"取代節點"的顏色
    color = node->color;

    if (child)
        child->parent = parent;

    // "node節點"不是根節點
    if (parent)
    {
        if (parent->left == node)
            parent->left = child;
        else
            parent->right = child;
    }
    else
        root = child;

    if (color == BLACK)
        removeFixUp(root, child, parent);
    delete node;
}

/* 
 * 刪除紅黑樹中鍵值為key的節點
 *
 * 引數說明：
 *     tree 紅黑樹的根結點
 */
template <class T>
void RBTree<T>::remove(T key)
{
    RBTNode<T> *node; 

    // 查詢key對應的節點(node)，找到的話就刪除該節點
    if ((node = search(mRoot, key)) != NULL)
        remove(mRoot, node);
}



/*
 * 紅黑樹刪除修正函式
 *
 * 在從紅黑樹中刪除插入節點之後(紅黑樹失去平衡)，再呼叫該函式；
 * 目的是將它重新塑造成一顆紅黑樹。
 *
 * 引數說明：
 *     root 紅黑樹的根
 *     node 待修正的節點
 */
template <class T>
void RBTree<T>::removeFixUp(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T> *node, RBTNode<T> *parent)
{
    RBTNode<T> *other;

    while ((!node || rb_is_black(node)) && node != root)
    {
        if (parent->left == node)
        {
            other = parent->right;
            if (rb_is_red(other))
            {
                // Case 1: x的兄弟w是紅色的  
                rb_set_black(other);
                rb_set_red(parent);
                leftRotate(root, parent);
                other = parent->right;
            }
            if ((!other->left || rb_is_black(other->left)) &&
                (!other->right || rb_is_black(other->right)))
            {
                // Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的倆個孩子也都是黑色的  
                rb_set_red(other);
                node = parent;
                parent = rb_parent(node);
            }
            else
            {
                if (!other->right || rb_is_black(other->right))
                {
                    // Case 3: x的兄弟w是黑色的，並且w的左孩子是紅色，右孩子為黑色。  
                    rb_set_black(other->left);
                    rb_set_red(other);
                    rightRotate(root, other);
                    other = parent->right;
                }
                // Case 4: x的兄弟w是黑色的；並且w的右孩子是紅色的，左孩子任意顏色。
                rb_set_color(other, rb_color(parent));
                rb_set_black(parent);
                rb_set_black(other->right);
                leftRotate(root, parent);
                node = root;
                break;
            }
        }
        else
        {
            other = parent->left;
            if (rb_is_red(other))
            {
                // Case 1: x的兄弟w是紅色的  
                rb_set_black(other);
                rb_set_red(parent);
                rightRotate(root, parent);
                other = parent->left;
            }
            if ((!other->left || rb_is_black(other->left)) &&
                (!other->right || rb_is_black(other->right)))
            {
                // Case 2: x的兄弟w是黑色，且w的倆個孩子也都是黑色的  
                rb_set_red(other);
                node = parent;
                parent = rb_parent(node);
            }
            else
            {
                if (!other->left || rb_is_black(other->left))
                {
                    // Case 3: x的兄弟w是黑色的，並且w的左孩子是紅色，右孩子為黑色。  
                    rb_set_black(other->right);
                    rb_set_red(other);
                    leftRotate(root, other);
                    other = parent->left;
                }
                // Case 4: x的兄弟w是黑色的；並且w的右孩子是紅色的，左孩子任意顏色。
                rb_set_color(other, rb_color(parent));
                rb_set_black(parent);
                rb_set_black(other->left);
                rightRotate(root, parent);
                node = root;
                break;
            }
        }
    }
    if (node)
        rb_set_black(node);
}

•   容器set，multiset
    set/multiset以rb_tree為底層結構，因此有‘元素自動排序’特性。排序的依據是key，而set/multiset元素的key和value合一：key就是value。
    set/multiset提供“遍歷”操作及iterators按正常規則（++ite）遍歷，便能獲得排序狀態（sorted）。
    我們無法使用set/multiset的iterators改變元素值（因為key有其嚴謹的排列規則）。set/multiset的iterator是其底部的RB tree的const-iterator，就是為了禁止user對元素賦值。
    set元素的key必須獨一無二，因此其insert（）用的是re_tree的insert_unique().multiset元素的key可以重複，因此其insert（）用的是rb_tree的insert_equal()。
    set的所有操作都是通過呼叫底層的紅黑樹進行操作。

•   容器map,multimap
    map/multimap以rb_tree為底層結構，因此有‘元素自動排序’特性。排序的依據是key。
    map/multimap提供“遍歷”操作及iterators按正常規則（++ite）遍歷，便能獲得排序狀態（sorted）。
    我們無法使用map/multimap的iterators改變元素的key（因為key有其嚴謹的排列規則），但可以用它來改變元素的data。因此map/multimap內部自動將user指定的key type設為const，如此便能禁止user對元素的key賦值。
    map的key必須是獨一無二的，因此insert（）用的是rb_tree的insert_unique()。multimap元素的key可以重複，因此其insert（）用的是rb_tree的insert_equal().
    注意：容器map，獨有的operator[]，但是multimap不可以使用[]進行insert操作。

• 容器hashtable
    我們可以使用hashtable iterators 改變元素的data，但不能改變元素的key（因為hashtable根據key實現嚴謹的元素排列）。到了C++11之後所有的hash開頭的都變成了unordered。導致上層的set和map都換了名字，換成了容器unordered_set,unordered_multiset;和容器unordered_map,unordered_multimap,但是使用方法上與之前的都是一樣的，只是換了一個名字而已。