橢圓濾波器與巴特沃斯、切比雪夫的比較和實現
橢圓濾波器(Elliptic filter)又稱考爾濾波器(Cauer filter):這是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。橢圓濾波器相比其他型別的濾波器,在階數相同的條件下有著最小的通帶和阻帶波動。它在通帶和阻帶的波動相同,這一點區別於在通帶和阻帶都平坦的巴特沃斯濾波器,以及通帶平坦、阻帶等波紋或是阻帶平坦、通帶等波紋的切比雪夫濾波器。
首先看看巴特沃斯濾波器的頻響特性:
可以看出巴特沃斯的通帶和阻帶都十分平緩
接下來是切比雪夫濾波器頻響曲線:
看得出來,切比雪夫是阻帶平穩,通帶等波紋。
接下來是橢圓濾波器:
可以看出,三種濾波器中,橢圓濾波器的過渡帶最窄,但通帶和阻帶都是等波紋的,也就是說過渡帶的特性是由犧牲阻帶和通帶的穩定性換來的。
而對於相同的效能要求,它所需要的階數最低。
對於模擬橢圓濾波器,振幅平方函式為:
式中 R N(Ψ,
L) 為雅可比橢圓函式
; L 是一個表示波紋性質的參量
。其特性曲線如下圖所示
。
可以看出,在歸一化通帶內,R()在(0,1)之間振盪,而超過Ω之後,R在(L^2,∞)之間振盪,這一特點使得濾波器同時 在通帶和阻帶具有任意衰減量。
下圖是典型的N為奇數的橢圓濾波器的幅度特性:
由於模擬濾波器的設計方法非常成熟 ,許多典型系統有成熟的公式 、圖表可以查閱 ,便於設計 ; 因此設計數字濾波器的主要方法是 : 首先設計一個合適的模擬濾波器 , 然後將他 “ 變換 ” 成滿足給定指標的數字濾波器
設計橢圓濾波器的四個步驟:
1.確定數字濾波器效能指標:: ω p
, ω s ,
Ap
, A
s
2.將數字濾波器效能指標轉換成相應的模擬濾波器效能指標 ;
3.設計滿足指標要求的模擬濾波器 H a(s)
4.通過變換將模擬濾波器轉換成數字濾波器 。
橢圓濾波器的MATLAB實現:
庫函式:: ellipord
函式和 ellip 函式
ellipord 函式的功能是求濾波器的階數 。該函式可以得到數字橢圓型濾波器的最小階數 n 和截止頻率 Wn ,並使濾波器在通帶內(0 , Wp)的波紋係數小於通帶最大衰減 R p ,阻帶內(W s , 1)的波紋係數大於阻帶最小
ellip
函式的功能是設計濾波器 ,[ b,
a] = ellip(n
, R p
, R s
, Wn),
利用 ellipord
函式得到的最小階數 n 和截止頻率
Wn
,可以設計低通 、或帶通濾波器(當
W n
=[ W 1
, W 2]
時)。
例如
: 設計一個帶通橢圓數字濾波器 ,
通帶為 100 ~250 H z,過渡帶均為
50 H z,通帶波紋小於
3 db ,阻帶衰減為
30 db ,取樣頻率
f s
=1 000 H z
。其程式為 :
fs = 1000
;
Rp =3;
Rs =30
;
Wp =2
*[ 100 200]
/fs;
W s = 2
*[ 50 250]
/f s;
[ n , W n] =
ellipo rd (Wp
, W s ,
Rp , Rs);
[ b , a] =
ellip(n
, Rp,
Rs Wn);
freqz (b,
a, 512
, fs)
程式執行結果如下圖所示 :