歐幾里得

1.含義：歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

原理公式：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等.

2.實現：

int gcd(int a,int b)
{

    return b?gcd(b,a%b):a;

}

擴充套件歐幾里得

1. 含義：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

2.結果：得到（a,b）最大公約數d，同時得到一組 整數解x、y。

3.實現：

（遞迴）

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return d;
}

（迭代）

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r=m%n;
    int q=(m-r)/n;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        m=n; n=r; r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}
 

4.應用

<1>求解不定方程

形如：ax+by=c      a、b、c已知，求一組 整數x、y使得方程成立。

解：由上述<實現>程式碼可得  最大公約數d=gcd（a，b）、一組x0、y0；（此x、y是方程ax+by=gcd（a，b）的解）

①方程ax+by=gcd（a，b） 的通解：x=x0+b/d*k；y=y0-a/d*k ; （k為任意常數，下同）

②方程ax+by=c的通解：x=x0*c/d+b/d*k ;  y=y0*c/d-a/d*k ;

另：判斷是否有解的方法  ：  c%d=0 則有解，否則反之。

<2>求解模線性方程

模線性方程 ： ax≡b(mod m)

     其中a,b和m是已知的（m>0），要求解出滿足上式的對模m的x值。滿足同餘方程的x可能有多個，也可能一個都沒有，上述模線性方程也稱為一次同餘方程。

    解：模線性方程ax≡b(mod m)的步驟如下：

（1）求 d=gcd（a,m）

（2）若d%b！=0，則ax≡b(mod m)無解；否則有解（且有d個解）

（3）求x0,y0,是a*x0+m*y0=d;

（4）由於d是b的因數，將a*x0+m*y0=d改寫，得a(x0*(b/d))+m*(y0*(b/d))=b, 

         於是ax+my=b的一個特解為 x=x0*(b/d),y=y0*(b/d);

（5）x0*(b/d)是ax≡（mod m）的一個特解，由此的ax≡b(mod m)的所有解

       （共d個）為：x= (x0*(b/d)+ i*(m/d) ) (mod m),    i=0,1,2,3,4.……d-1

<3>用歐幾里德演算法求模的逆元：

       同餘方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，則方程只有唯一解。

      在這種情況下，如果 b== 1，同餘方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      這時稱求出的 x 為 a 的對模 n 乘法的逆元。

      對於同餘方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1，x, y 為整數。這個可用擴充套件歐幾里德演算法求出，原同餘方程的唯一解就是用擴充套件歐幾里德演算法得出的 x 。